Projektionernas indelning
Under tidernas lopp har ett mycket stort antal olika projek- tioner konstruerats. För att vinna en översikt över desamma är det lämpligt att verkställa något slags indelning. Svårigheten att finna en från varje synpunkt lämplig indelningsgrund framgår emellertid av de olikartade tablåer, som av skilda författare upp- stä]lts. Ibland uppdelas sålunda projektionerna efter sina egen- skaper i längd-, yt- och vinkelriktiga samt en fjärde grupp, om- fattande projektioner "med andra egenskaper". Inom dessa kate- gorier sker en förnyad indelning t. ex. efter projektionsytans art (plan, kägel- eller cylindermantel). Den uppställning, som nedan följer, är icke till alla delar fullt systematisk, och densamma motiveras huvudsakligen av pedagogiska skäl. Innan vi övergå till översikten, böra vi emellertid ta en överblick över de olika indelningsmöjligheterna.
Med utgångspunkt från projektionsbegreppets egen art kunna vi @ördela alla kartprojektioner på tvänne stora huvudgrupper: direkta (perspektiviska) och indirekta projektioner.
Med direkta projektioner menas sådana, där man tänker sig en best,åmd. Vgon@r@nkt, från vilken r@ta projektionsstrålar eller-linjer tänkas utgå, förbindande varje punkt på den del av jordytan, som skall återges, med motsvarande punkt på projektionen. Exempel på en dylik projektion är t. ex. fig. 10. Ögonpunkten kan ock tänkas vara belägen pa oändligt avstånd, i vilket fall projektionslinjerna bli parallella (jfr. fig. 5).
Med indirekta projektioner åter förstår man sådana, där en best@md @gonpunkt icke är tänkbar, och där de olika punkterna på jordytan med bestämt syfte i fråga om förvridningen projici- eras ut på projektionsplanet eFter vissa matematiska regler. Pro- jektionslinjerna kunna vara kroklinjer av varierande art. Exem- pel härpå erbjuder fig. 24, där sagda linjer utgöras av cirklar.
De indirekta projektionerna kunna ytterligare uppdelas i geome@riskt defin@erbara projektioner, där konstruktionen sker eFter enkla geometriska principer (t. ex. den vanliga ytriktiga kä- gelprojektionen) och konventionella projektioner, vilka konstru- eras rent matematiskt (t. ex. Bonnes, Mollweides, Sanson-Flam- steeds projektioner).
En annan indelningsgrund är projektionsplanets art. Från denna synpunkt kunna projektionerna indelas i två grupper: pro- jektioner på ytor, som (för att bilda plan) måste bredas ut, och projektioner på (från början) plana ytor. Den förra gruppens ytor äro av två slag: cylinder- och l@on- (kä@el-)ytor.
![]()
Fig. 2. Prov på azimutal, kägel- och cylinderprojektion.Om en cylindermantel skäres upp längs en linje, parallell med axeln i cylindern, bildar den utbredd en rektangel. En upp- skuren och utbredd konmantel åter företer bilden av en cirkel- sektor, vars medelpunktsvinkel blir mindre, ju spetsigare konen är. Vill man beräkna konens utbredda toppvinkel, utgår man enklast från den breddgradscirkel, längs vilken konen och klotet tangera varandra. Om vi låta klotradien vara R och tangeringen äger rum på φ@ bredd, blir tangeringscirkelns radie = R* cos φ. Konens sida från toppen ned till denna cirkel er- håller längden R* tg (90@−φ)=R* tg δ. Betecknas motsvarande cirkelsektors medelpunktsvinkel med x, få vi
x:360 = π*R*2 cos φ:π*R*2 tgoch alltså
x = 360 * sin φ = 360 * cos δ.I själva verket bildar konen en direkt övergång mellan cylindern och den plana ytan. Om vi tänka oss en cylinder ställd kring jordgloben och med sin mantel tangerande denna, sker beröringen längs en storcirkel (fig. 2). Låta vi projektionsman- teln tangera klotytan längs en mindre cirkel på denna7 måste cylinderns väggar lutas inåt mot axe@n och cylinderformen följ- aktligen uppgivas; på detta sätt övergår cylindern i en kon. Ju mindre tangeringscirkeln är, desto flackare blir konen. Och då tangeringscirkeln förminskats till det minsta tänkbara, d. v. s. en punkt, har konen förflackats till ett plan. - Projektioner på plana ytor kallas azimutala projektioner, emedan alla punkter på desamma ha lika azimut (= riktningsvinkel, "väderstreck") som på klotet, sedda från projektionens medelpunkt; alla azimutala projektioner äro således vinkelriktiga i sin mittpunkt.
![]()
Fig. 3. Skärande cylinderprojektion.I en del fa]l har det visat sig lämp]igt att låta projektionsytan skära i stäl]et för tangera jordytan. Man talar härvid om skärande projektioner. Vid direkta skärande cylinder- och kägelprojektioner äger beröringen mellan k]ot- och projektionsylorna rum längs tvenne cirkellinjer på k]otytan, vi]ka linjer b]i längd- riktigt återgivna på projektionen. Skärande cylinder- och kägelprojektioner konstrueras ofta på så sätt, att projektionen beräknas såsom en tangerande projektion, men skalan förminskas så, att tvenne breddcirklar i projektionen på visst avstånd ovan och nedan den ursprungliga tangeringscirkeln återgivas längdriktigt. Avsikten härmed är att uppnå en jämnare fördelning av yt- och längd@el över hela kartområdet, så att t. ex. ytfelet i stället för att oavbrutet ökas till stora belopp å ömse sidor utåt från en tangeringsparallell i stäl]et ökas åt båda sidor om de "skärande" breddcirklarna Härvid äger en ytminsk- ning rum me]lan dessa @skärande@ breddcirklar och ytförstoring utanför desamma, utan att dock felet någonstädes blir av störande storlek. Tillvägagångssättet medför, att den klotyta, som @skäres@ av projektionsplanet, icke blir jordklotets verkliga yta utan en helt annan. Vid azimutala skärande projektioner sker beröringen längs en (likaledes längdriktig) cirkellinje i stället för i en punkt, vilket endast medför en förändring av skalan.-Fig. 3 visar prov på en skärande cy]inderprojektion.
Ånnu en annan al]män indelningsgrund för projektioner finnes, nämligen efter h@vu@punktens (vid azimutala projektioner= me- delpunktens eller tangeringspunktens) läge pd jordytan. Befinner sig denna i endera polen, ta]ar man om en polarprojektion, be- finner den sig i någon punkt på ekvatorn om en ekvatorialpro- jektion, och slutligen, if all punkten ifråga ligger någonstädes me]lan po]erna och ekvatorn, om en horisontalprojektion. Dessa benäm- ningar användas huvudsak]igen för de azimutala projektionerna. Cylinder- och kägelprojektioner kallas normala, då cylinder- resp. konaxeln sammanfaller med jordklotets rotationsaxel (fig. 4:1), trnns- versala, då cylinder(kon-) axeln bildar en diameter i ekvatorn (fig. 4: 11), och snedaxliga, då axeln skär kloteti annan riktning(fig. 4:111).
![]()
Fig. 4. I. Normal, II. transversal och III. snedaxlig cylinderprojektion.För att vid bladindelade kartverk undvika de längd-, yt- eller vinkelfel, som särskilt vid över stora områden utsträckta projektioner nödvändigt måste uppstå, kan man till lämplig grad upplösa sammanhanget mellan kartans delar och låta varje del för sig överföras på en särskild yta. En normal tangerande cylinderprojektion över ett i nordsydlig riktning utsträckt område kan på detta sätt uppdelas i nordsydliga våder, varvid varje vad, omfattande ett lämpligt antal längdgrader å klotet, tänkes över förd på en särskild cylinder, som tangerar klotvåden längs denna@ mittmeridian (se sid. 30 och 47). Ett slags vådprojektioner äro även de uppslitsade projektionerna (se fig. 47 och 48). Har området sin huvudutsträckning i östvästlig riktning, lämpar sig bättre en lzonisk projektion, uppdelad i zoner, där varje zon återges på en kon för sig med tangering längs zonens mittparallell (se sid. 24). Systematiskt äro naturligtvis dessa projektioner cylinder- och kägelprojektioner. De azimutala projektionerna slutligen kunna för samma ändamål få form av pol.@ederprojektioner (se sid. 26), vilka pläga sammanföras med de koniska projektionerna.
De möjliga projektionernas, såväl de direktas som de indirektas, antal är oändligt stort. Det möter inga som helst verkliga hinder att vid konstruktionen av direkta projektioner förlägga ögonpunkten var som helst inom eller utom klotet. Och vid konstruktionen av indirekta projektioner kan man utgå från allehanda matematiska regler, allteftersom man vill tilldela projektionen den ena eller andra egenskapen, öka eller minska det ena eller andra proiektionsfelet. @et stora fler@alet projektioner ha emellerlid aldrig konstruerats Endast ett jämförelsevis ringa antal ha kommit till utförande, och av dessa är det ett ännu mindre an@al (huvudsakligen indirekta projektioner), som funnit praktisk användning. De egen- skaper, som en projektion för skilda syften bör ha, och vilka i det föregående antytts, äro tämligen bestämda till såväl art som grad, och att öka projektionsf@len utöver behovet vore meningslöst.
Här nedan ha alla i arbetet upptagna projektioner samman- förts under de två stora huvudr@brikerna direkta och indirekta. Underrubrikerna härledas ur projektionsplanets art: cJ@linder-, kägel- och azimutala projektioner. Till cylinderprojektioner und@r rubri- ken @indirekta@ ha dock förts även en del projektioner, som endast genom sin allmänna beskaffenhet eller anordning närma sig de egentligen hithörande (@'pseudocylinderprojektioner@); för att nämna ett exempel har Hammers ytriktiga planisfär här inrymts pa grund av sin allmänna anordning men ingalunda från syste- rnatisk, historisk eller konstruktionssynpunkt.
Översikt av projektionerna
I. Direkta projektioner
A. Azimutala projektioner
Ortografisk projektion. Ögat tänkes befinna sig på oändligt avstånd, och bilden av jordytan upptages på ett plan, vinkelrätt mot de parallel]a synstrålarna. Den ortografiska projektionen ger den Unaturligaste" bilden av klotet-bilden ter sig ungefär på samma sätt, som då man på långt håll betraktar en jordglob - men den är varken yt- eller vinkelriktig (däremot är den längdriktig längs cirklar, som ha projektionsnnedelpunkten till medelpunkt). Den användes ibland i kartböcker för halvklotskartor; för detaljkartor har den föga betydelse. En ortografisk projektion kan ej omfatta större del av jordytan än ett halvklot.
![]()
Fig. 5. Ortografisk polar- (I), ekvatorial- (II), och horisontalprojektion (III) i skalan 1:400 mill.I@onstruktionen av polarprojektionen framgår utan svårighet av fig. 5:1. Yttercirkelns radie motsvarar jordklotcts (@) i den skala, vari projektionen tankes utförd, och radicn för (y' hredd = R. cos @r - Ur polarprojektionen konstrueras med latthet ekvatorialprojektionen. Breddgradslinjerna äro i den senare räta linjcr, och dessas olika av stand fran medelpunkten erhallas grafiskt på samma satt som radielna till motsvarande cirklar i polarprojektionen (sättet antytt genom dc prickade linjerna i vänstra delen av fig. 5:1). Meridianernas skär- ningspunkter med breddgradslinjerna projicieras var för sig genom rata och parallella linjer fran polar- till ekvatorialprojektionen, varvid är att märka, att endasl hälften av varje meridian ar synlig å den förra; varje skärningspunkt i denna maste alltså i ekva- torialprojektionen återfin- nas på tva ställen, ovan- for och nedanför ekvatorn. For en meridians skär- mngspunkter med bredd- gradslinjerna år konstruk- tionen lltförd i hogra hal- vorna av fig. 5: 1 och 11. -Principen ar densam- ma förframkonstmerandet av horisontalprojektionen ur ekvatorialprojektionen. Först måste dock medel- punktens läge i den förra vara bestämt; å fig. 5:III tänkes den belägen 30@ n. br. En linje drages från denna punkt (å fig. 5:II) genom ekvatorialprojektionens medelpunkt och forlanges; pa denna linje skall medelpunkten för horisontalprojektjonen forläggas (var Solll helst pa grund av proiektionsliniernas obegränsade längd), och pro- jektionslinjerna bli parallella med densamma. For den fortsatta konStr@lk- tionen behövas emellertid hjälplinjer Vinkelrätt mot den nämnda för- eningslinjen mellan de båda projektionernas medelpunkter drageS (@ fig. 5: 11) inom den jordhalva som skall avbildas ett lämpligt antal linjer, vilka å horisontalprojektionen naturligtvis komma att motSvaras av cirklar med resp. Iinjers langd till diameter, på samma sätt som de rata breddgraderna a ekvatorialprojektionen återfinnaS som cirklar å polarprojektionen. Skärnhlgspunkterna mellan de på detta sätt upp- dragna linjerna och ekvatorialprojektionens gradnätslinjer kunna dar- efter med lätthet overföras till horisontalprojektionen, där de natUI- ligtvis skola återfinnas pa två stallen a hjälpcirkelns periferh For en dyl k hrkåtplinje och motsvarande cirkel finnas konstruktionSlin- jerna utmärkta å fig. 5:II och III.
![]()
Fig. 6. Stereografisk polarprojektion i skalan 1:400 mill.Stereografisk pro- jektion. Ögat tänkes befinna sig i jordytan. Om fran ögonpunkten en rät linje drages till jordens medelpunkt och förlänges,så träffar denna linje projek- tionsplanet vinkelrätt. Det är jordhalvan mot- satt den, i vars mitt ögonpunkten befinner sig, Solll avbildas, och projektionsplanet tan- gerar jordytan i ögon- punktens antipodpunkt (fig. 6); skär planet genom jordens medel- punkt, sasom man tanker sig saken i fig. 7, förminskas skalan till halften -Projektionen är varken yt- eller @gdriktig, nagot som framgår vid fors@a ögonkastet. Däremot är den vinkelaktig. Vi lata i fig. 7 en vinkel var som helst på klotet, exempelvis i f, representeraS av de sfäriska vinkelbenens tangenter fg och fi, vilka enligt sid. 9 bilda en vinkel av samma gradtal på tan- geringsplanet jklm. Pa projektionen, d. v. s. planet bcde, kommer enligt projektionens princip denna vinkel att representeras av A gf,i.
Bevisas skall saledes, att A gfi = A gf,i. 1@ anf är A nfa = A naf. Men A nfa + A afh = 90°, och A naf + A nf,a = 90°; . A afh = A nf,a; A nf,a = A ff,h; . Aff,h = A afh; ·. hf = hf,; ./\ gfi avbildas följaktligen vid projektionen helt enkelt på så sätt, att man fäller ned densamma med anvandande av linjen gi såsom @gangjårn@. Och /j gf,i blir följaktligen = A gfi. För övrigt ser man utan vidare på projektionen, att tangenter dragna till en meridian och en breddgradslinje i dessas skärningspunkt överallt bilda råta vinklar liksom på klotytan. Projektionen kan utstrackas över mer än halva jordytan, men utsträckt till hela jorden blir den oändligt stor.
![]()
Fig. 8. Stereografisk ekvatorialprojektion i skalan l:40O mill.Konstruktion. På en stereografisk projektion förekomma endast rata linjer (gående genom projektionens medelpunkt) och cirkellinier. Polarprojektionens konstruktion ärsyn nerligen enkel och framgår utan vidare av fig. 6. Radien för @° bredd = 2 R. tg@ (90°- @). -Ekvatorialprojek tionen konstrueras pa följande satt. Varje kvadrant av periferien delas i behövligt antal lika delar (för 15°-fält sasom a fig. 8 i 6 st.). Genom var och en av delninr snllnk terna drages en ta gent (utfört i öv högla kvadranten och dar denna sk. meridianen, befir ner sig medelpunk- ten for motsvarande breddr/radscirkel. - I ena polen sättes en rät vm@el, vars ena ben bildas av mittmeridianen. Demla räta vinkel delas i behövligt antal lika delar (för 15@-fält i 6 st.). Dar de sa erhallna delningslinjerna nå den utdragna ekvatorn, erhåltas medel- punkterna för meridiancirklarna. - Horisontalprojektionens konstruk- tion blir som atltid nagot mera invecklad. I fig. 9 är medelpunkten förlagd till 45° bredd. Två vinkelräta diametrar, av vilka den ena kommer att bilda projektionens mittmeridian, dragas upp. Projektionens periferi uppdelas i händelse 15°-fålt såsom a figuren skola bildas, fran mittmeridianen i 24 lika delar, och delningspunkterna samman- bindas med den andra diameterns ena andpunkt. Där sammanbind- ningslinjerna skära mittmeridianen, skola breddgradscirklarna löpa, så- tedes genom mittpunkten cirkeln for 45° bredd, genom delnings- punkten närmast ovanför cirkeln för 60@ bredd o. s. v. Medelpunkterna för dessa cirklar erhallas pa sa sätt, aft man uppsöker deras övre och undre skarningspunkt med mittmeridianen (eller densammas för- langning) och delar det mellanliggande stycket av denna mitt itu Varje breddgradscirkel har sin egen medelpunkt, och cirklarna b@ följaktligen ej koncentriska, vilket omedelbart framgar av figuren. För konstruktionen av meridianerna tillvägagår man pa @oljande satt. Vin- kelrätt mot mittmeridianen genom den punkt pa densamma, där cirkeln for 45° bredd mot den andra (ej avbildade) polen skulle skära nämnda meridian, drages en rät linje (radien tor denna andra 45°-cirkel blir nämligen i detta fall oandlig);linjen ifraga skulle, om medelpunkten le- gat pa 30@-paral- lellen, kommit inom, om me- delpunkten legat på t. ex. 60° bredd, utom pro- jektionens be- Och om medel- punkten såsom i har beskrivna fall liggermitt emellan pol och ekvator pa klotet, rakar linjen bli tangent till ntmnda cirkel.
![]()
Fig. 9. Stereografisk horisontalprojektion (huvudpunkt på 45° bredd) i skalan 1:400 mill. De små ringarna beteckna medelpunkterna i meridian- och breddgradscirklarna.I den avhildade polen sattes en rät @inkel, vars ena ben bildas av mitlmeridianen (utfört till vänster i figuren). Densamma delas i be- hovligt antal lika delar (i detta fall 6 st.), och där delningslinjerna traffa den nyssnämnda, räta @ jen for 45@ bredd, ligga medelpunk- terna för meridiancirklarna; dessas radier utgoras naturligtvis av resp. avstand till (den avbildade@ polen.
![]()
Fig. 10. Gnomonisk polarprojektion i skalan 1:400 mill.Gnomonisk projektion (Centralprojektion). Ögat tänkes befinna sig i jordens medrl@unkt, och prolektionsplanet skär den radie, som träffar den proiicerade ytans mittpunkt, vinkelrätt. Projektionsfelen i fråga om avstånd, vinklar Ocil ytor äro mycket stora. Projektionens viktigaste egenskap är den, att alla stor- cirklar (ortod@omer) avbddas som rata lurjer. Härpa grundar sig dess användning till sjökort "för segling i storcirkeln" (jämför Mercators projektlon sid 45). Vill man således på en karta i denna projektion utmärka den kortaste vägen mellan två platse behover man blo@t sammanbinda dessa med en rät linje. Pro- jektionen blir redan vid ut stritckning till ett halvklot oändlig och kan därför an- vändas endast för mindre delar av jordytan.
![]()
Fig 11. Gnomonisk ekvatorialprojektion i skalan 1:400 mill.
Konstruktionen av polar- och ekvatorialprojektionerna framgår utan vidare av fig. 10 och 11. I den förra är radien for @° bredd = R. tg (90 -n@ Konstruktionen av den gnomoniska horisontalprojektionen år betydligt mera invecklad. Vi tänka oss ett fall, då tangeringen äger rum pit 30° br., och att som förut 15°-falt utsättas. Klotet representeras även nu av en cirkel, vars radie = klotets i den skala, vari kartan skall utforas. Om vi antaga, att tangeringen sker i punkten n (fig 12), kommer tan- geringsplanet att repre- senteras av linjen lo. Cirkelns omkrets upp- delas pa vanligt sätt ge- nom radier, som skära varandra under 15°- vinklar. Om punkten n sålunda betecknar 30° br., kommer punkten p att motsvara 90° br. = polen och u att mot- svara 0° br. = ekvatorn. Eftersom ögonpunkten befinner sig i klotets medelpunkt, projicieras punkten p ut till p„ u till a samt av de övriga punkterna I t. ex. till @„ v till v„ w till w, o. s. v.
![]()
Fig. 12. Gnomonisk horisontalprojektion i skalan 1:400 mill. Tangeringspunkten belägen på 30@ bredd.Linjen pe kan också sägas bli avståndet polen-ekvatorn längs projektionens mittmeridian. Densamma skall i e skäras vinkelrätt av ekvatorn, som på projektionsplanet följaktligen kan utsättas såsom en linje gf,. Om vi nu också kunna på denna linje utmärka de övriga meridianernas skärningspunkter, är möjlighet given att uppdraga dessa: de sammanlöpa i polen och skola i egenskap av storcirklar på klotytan framställas som räta linjer i projektionen. För detta ändam31 tanka vi oss en ny konstruktionsbild (av utrymmesskäl ha alla kon- struktionsbilderna m3st sammanföras i huvudfiguren, fig. 12), nämligen eft snitt geno/n klotet och projektionsyten @ ekvetorns plan. Den bild vi s3 erh311a, representeras a fig. ]2 (utom av cirkeln) av linjen ef, svarande mot ekvatorn. Syftlinjerna för de olika meridianerna ga i denna bild genom punkterna e (0°), v (1 5G), w (30°), z (45°), 1@ (60°) och z (7 i°). Dessa meridianers skärning av ekvatm-ll äger följaktligen p3 projektionsplanet rlllll i resp. e, b, c, d, e och f A den linje, som pa sjëlva projektlonstechmngen representerar ekvatorn, linjen gJ„ ha vl alttsa att från n räknat avsatta avstanden a6„ ac„ ad@, ae, och af = @ ab, ac, ad, ae och af, varefter här meridianerna p,@, p,e„ p,d,, p c, och p,b, kumla utdragas. Alldenstund projektionen i det tänhta fallet är symmetrisk, avsattas samma avstand aven till vanster om ll)itt meridianen, och meridianerna har utdragas på samma sätt. Nu ater- står att uppsöka breddgradslinjernas skärningspunkter på meridianel-na För detta ändamål fa vi tänka oss nya konstruktionsbilder, nämligen snitt genom kloM och projektionsytan I de olika meridianernas plan. I dessa bilder kommer ekvatorolanet att rel@resenterac @v linien m{ @tr på i5@ avstand fran mittmendiänel;; skar enligt den förra konstmktionen ekvatorn pa ett avstand vb fran klotperiferien. Detta av- stånd avsattes nu fran cirkelperiferien i punkten u och blir da här = ub„. Meridi- anen pa t. ex. 60° avstånd fran mittmeri- dianen skär på avstandet @e=ae, o. s. v.
![]()
Fig. 13. Externa projektioner.Genom att sammanbinda de sålunda erhallna punkterna b„, c„, d„, e„ och f, med p, och händelse av behov utdrdga sammanbind ningslinjerna, erhaller man för de ifråga- varande meridianerna linjerna p,q, p@r, p,s, p,@„ och p,J;j, å vilka de sokta skärnin@s- punkterna direkt kunna projicieras genom ut- dragande av linjerna ml@„ mk„, mj,;, ml,@, mh„, me„ och mg„. Om vi nu sålunda er- hallit avstånden p,l„, p,k„, p,j„, p,i„, p,h„, p,e„ och prg@l sa ha vi blott att å proJek- tlonens motsvarande linje p,g, och dess för- längning avsätta samma avstand fran p„ varigenom de sokta punkterna 1„ k„ j„ i„ h„ e„ g„ erhallas för meridianen ifraga. Som kontroll mot felkonstruktioner och den rent grafiska konstruktions- metodens bristfälligheter kan iakttagas, att avstånden p,b„ p,c„ p,d„ p,e@ och p,f, redan äro kånda genom en föregaende konstruktion.
Externa projektioner. I de hittills genomgångna projek- tionerna tankes ögonpunkten belagen a bestamda punkter på jordradien eller dennas forlängning: på oandligt avstånd, i klotets periferi eller i klotets medelpunkt. Naturligtvis kan öeat ocksa tänkas befinna sig annorstädes på namnda linje, och projektionens art blir i så fall ett mellanting mellan nagot av de tre namnda slagen. Fig. 13 avser att ge ett par exempel på sadana exferna projektioner. Den vanstra bildar en övergång mellan ortografisk och stereografisk, den hogra mellan stereografisk och gnomonisk erojektion. Dessa sistnämnda projektioners huvudegenskaper@ resp. vinkelriktighet och räta ortodromer, saknas dock, och de externa projektionerna ha i praktiken numera ingen användning
B. Koniska projektloner.
![]()
Fig. 14. Direkt konisk projektion (norra halvklotet) med tangering på 45° n. br. Skala 1:400 mill.Direkt konisk projektion, t@gonpunkten är belägen i jordens medelpunkt, och jordytan återges på manteln av en kon, som antages tangera jorden. Projektionen är varken yt- eller vinkelriktig (trots det att breddgrader och meridianer alltid skara varandra under räta vinklar), men avstlnd pa jordytan i tangermgs- cirketnatergivaslangd- riktigt längs motsva- rande cirkel a projek- tionen. Projektionsfe- lens storlek ökas med avstandet iran tange- ringscirkeln och uppnå snart ansenliga belopp, under det omradena narmast denna återges tämligen noggrant. Den normala projektionen kan saledes lampa sig iör återgivande av smala omraden med ost-västlig längdut- sträckning och belägna mellan polen och ekvatorn. For trakter med utsträckning i annan riktning skulle kunna anvandas den trans- versala formen eller nagon snedaxlig sadan. Projektionen har dock -ehuru av stort teoretiskt varde-ingen praktisk användning.
Later man konen skära i stallet iör tangera klotet, blir re- sultatet, under förutsättning att konens toppvinkel behalles ofor- ändrad, endast en förminskning av skalan. Projektionsfelen för- delas jämnare över hela ytan, i det nu tvenne breddgradscirklar avtecknas längdriktigt, varvid sagda fel mellan de skärande bredd- clrklarna ökas endast till en viss (mindre) grad, under det de på yttersidorna av dessa erfara större ökning. Ej heller denna form av direkt konisk projektion har någon praktisk användning - En med denna narbeslaktad projektion användes för den finska generalkartan i sko@an 1:400,000. Skärande parallellcirhlar äro 61° 15' och 64@ 45' n. br. Dessa jämte medelparallellen, 63@, projicieraS centralt sasom i den direkta koniska projeklionen, men övriga paralleller fördelas jämt på kartan mellan de båda gränsparallerna samt utanfor dessa. Meridianerna utgöras av räta linjer, utstrålande med lika vinklar fran konspetsen.
Konstruktionen av den normala direkta koniska projektionen fram- går av fig. 14, dtr konen tänkes tangera jorden längs 45° bredd.
Toppvinkeln blir i sadam fall utbredd = 254° 33' 22". Om tangeringen äger rum närmare polen, blir tOpp- vinkeln storre, sker tange- ringen närmare ekva@orn, blir toppvinkeln mindre. Rörande toppvinkelns be- rakning .id koniska projek- tioner hänvisaq for ovri@t till sid. 12.
Polykoniska projektioner. Vid den direkta koniska projek- onen avbildas områ@ena närmast tangeringscirkeln med minsta projektionsfelen Om vi antaga, att dessa bål]a sig inom rimliga gränser på ett avstand av t. ex. fem breddgrader åt vardera hallet fran nämnda cirkel, blir det område, vi på detta sätt någor- lunda troget kunna återgiva, en zon runt klotet om tio bredd- graders utsträckning. Bilden av detta omrade erbålles pa en ringformig yta, som är en del av en konmantel. Vilja vi på samma sätt avbilda en liknande zon pa högre eller lägre bredd än den förra, lata vi bilden av dessa trakter atergivas av en liknande ring som tangerar klotytan i det nya omradets mittparallell. Den se- nare ringen ansluter sig med ena kanten till den första, men ytan bildar en vinkel med dennas Den nya ringen tillhör näm- ligen en annan kon, flackare än den förra, ifall det nya bället ligger narmare polen, spetsigare, om det befinner sig at ekvatorn fill. Att pa ett plan utbreda den på så sätt av ett antal ringar bestaende projektionen, later sig ej utan vidare göra. Det Iyckar endast om man löser sambandet mellan de olika ringarna och dessutom oppnar" varje ring med ett snitt, pa samma sätt som man tänker slg forfara vid en vanlig konisk projektion. På detta sätt erhalles en bild, liknande fig. 15, dar man särskilt lagger märke till att tvenne ringar åt båda sidor från en gemensam tangeringspunkt skiljas at, sa att ett sig utåt alltmera vidgande mellanrum uppstår.
![]()
Fig. 16. Polykonisk projektion (hela jorden) i skalan 1:400 mill.Naturligtvis kan i denna projektion endast mycket langsmala områden i ringarnas tangeringsgebiet med fördel avbildas. Projektionen användes i den nu beskrivna formen för bl. a. de officiella sjökorten over Förenta Staternas ostkust men är för övrigt sällsynt.-Ju smalare ringarna tagas, desto sma- lare (och i stäilet flera) bli dessa mellanrum. Låta vi ringarna bli oändligt smala och oändllgt m@tnga, så att deras gränser på en teckning ej kunna särskilt markeras, erhålles en sammanhhngande polykonisk projektion, vars utseende frarngår av fig. 16. Avstand i ost västlig riktning avsättas längdriktigt /ängs bteddgradscmlllarna. För övrigt är projektionen varken yt eller vinkelriktig ocb saknar numera praktisk betydelse.-Det polykoniska förfaringssättet, som även kan användas for alla geometriskt delinierbara kägelpro- jektioner, tillätnpas mycket ofta a gradnätsunderlaget för general- stabskartor. Generalstabskartorna over norra Sverige och norra Norge äro pa detta sätt utförda i resp. vlnkel- riktig ocb längdriklig konisk projektion (se dessa!).
Konstruktion. De olika breddgradscirklarnas radier å projektionen äro tangenter till motsvarande cirklar pa klotet, och radiernas if råga längder erhållas följaktligen enligt fig. 17. Medelpunkternas lagen av- sättas dock ej direkt på detta sätt, då cirklarna i sa fall skulle bli stereografiskt reproducerade (se fig. 8). Avstånden mellan breddgradscirklarnas periferier be- stämmes ju genom zonernas bredd (varje ZOII repro- ducerad efter den direkta koniska projektionens prin- cip), och medelpunkten för cirkeln för @° bredd avsattes = R. tg (90c_np) fran cirkelns if raga skär- ningspunkt med mittmeridianen. För varje breddgradscirkel uppsökas meridianernas skärningspunkter på t. ex. följande sätt: å en enligt nyss given anvisning uppdragen breddgradscirkel avsättes från mittmeri- dianen at vardera hallet halva långden av motsvarande cirkel pa klotet; medelpullktsvlnkeln for del sa bestämda bågstycket beräknas ocb delas i behorigt antal lika vinklar (för 15°-fält i t2 st.); dar delmngslin- jema traffa if ragavarande breddcirkel, aro de sokta skämingspllnkterna i behorigt antal liha vinklar (för 1@°-falt i 12 st.); dar delningslir jerna träffa if ragavarande breddcirkel, äro de sokta skärningspunkterl, belägna. De olika breddgrademas samhoriga skärningspunkter förbind, med en kroklinje, som blir den sökta meridianen.
Pol@ederprojek@ioner, Detta slags projektioner sta i ett när utvecklingshistoriskt samband med de föregaende, och de upp tagas därfor pa denna plats i översikten, ehuru de till sin art snarare borde betecknas som azimutala. @/lan tänker sig nämligen hela det område, som skall kartläg@gas, uppdelat i ett stort antal små ytor, vanligen begränsade av linjer tillhörande gradnatet (meridianer och breddgradscirhlar). Ytorna projicieras var för sig efter de regler, Som gälla för en azimutal eller (ibland) konisk projektion.
Skulle en sammanhängande zon av jordytan mellan två breddgrader tankas framstalld på detta sätt, bleve resultatet en ring liknande den, som nyss omta- lats för de polykoniska pro- jektionerna, ehuru bruten i vin- kel längs var och en av del- fältens gränsmeridianer, nagot som kan åskådliggöras av fig. ]8. Projektionen av varje dy zon kan i stort sett betecknas som konisk, och för flera sa manhangande zoner som polykonisk, Den skulle dock bli idc tisk med den sammanhängande polykoniska projektionen forst c ytoma tänktes o@ndiigf sma. Storleken för rutornas sidor bruka olika kartverk variera mellan 6' och 30'.
![]()
Fig. 19. Direkt cylinderprojektion i skalan 1:400 mill.Inom varje ruta, som faktiskt har den azimutala (eller koniska) projektionens alla egenskaper, nå felen på grund av rutornas litenhet icke mätbar storlek. Skulle man emellertid söka lägga tillsammans ett större antal sär- skilda rutor (blad) for att erhalla en sammanhängande karta över ett vid- sträckt område,upp- trada i utkanterna av detta mellanrum mellan bladen, nå- got liknande dem i fig. 15. Sitt namn har proiekbonen fått därav, att klotytan ju tänkes överförd på ytan av en manghörning (polyeder), vars alla begränsningsfält (mot svarande de särskilda bladen) tänkas tangera klotet i sin mitt punkt - Polyederprojektioner ha stor användmng för general- stabskartor over olika länder (Tyska riket, Österrike-Ungern, Ryss land, Frankrike, Spanien, Italien). Till grund för Socken@arf@an över Finland" och @Finlands ekonomiska karta@ ligger en så som polyederprojektion utvecklad konisk projektion (Delisles se sid. 35). Varje blad i den förra omfattar 12' i longitud och 6' i latilud, i den senare 30' i longitud och 15' i latitud. Bladen begränsas i öster och vaster av (rätlinjiga) meridianer samt i norr och söder icke av breddcirkelbagar utan av kordorna till dessa bågar, vilket medför att bladen erhålla trapezform.
C. Cylinderprojektioner.
![]()
Fig. 20. Lamberts ytriktiga cylinderprojektion (normal form) i skalan 1:400 mill.Direkt cylinderprojektion. Bland de azimutala projektionerna har denna sin motsvari@het i den gnomoniska och bland hägel- projektionerna i den direkta koniska projektionen. Liksom hos dessa ar projektionsytan tangerande, fastan tangeringslinjen pa grund av projektionsytans art ar en storcirkel, och ögonpunkten ar belägen i jordens medelpunkt. I den normala formen (fig. 19) kommer polen på oänd- ligt avstand. Projektionen är längdriktig langs ekvetom men varken yt eller vinkel- riktig. Projektionsfelen okas med avstaanden fran tangeringscirkeln och bli snart myck stora. Nagon praktisk anvandnjng har projektionen icke. -Låt man cylindern skara i stället för tangera klotet, blir resultatet i det fall endast en förminskning av skalan och en jämnare fördelnir av projektionsfelen såsom vid den skarande direkta koniska pro jektionen (se sid. 23).
Lamberts ytrikti@a cylinderprojektion. Projektionsytan bildas av en cylindermantel av samma höjd som jordaxelns langd. Varje punkt på jordytan projicieras från sfn fjteddgrads cirkels medelprmkt medels en rät projektionslinje. Medelpunk- terna for de olika breddgradscjrklarna på klotet ligga ju alla i dettas axellinje, och projektionslinjerna för de olika cirklarna lopa i sh@semellan parallella plan, vadan det vinkelrata av- standet mellan de dessa cirklar motsvarande rata linjerna å projektionen blir detsamma som i den ortografiska ekvatorial- projektionen (fig. 5:11). Denna projektion avviker sålunda fran alla i det föregående beskrivna darigenom att en gemenSart ögonpunkt för hela projektionen icke finnes. -Proiektionen ar @triktig. Om klotradien betecknas med R, blir cylindernshela yta
2 R*π*2 R = 4 π R2,vilket ju är klotytans formel. Ytan av en klotzon mellan två breddgrader ar 2 R. @ . h, där h = zonens höjd, uppmätt längs jordaxeln.
![]()
Fig. 21. Lamberts ytriktiga cylinderprojektion (trans- versal form) i skalan 1:200 mill.Detta uttryck är även, såsom en blick pa fig. 20 genast visar, formeln för det zonen motsvarande baltet av projek- tionen. Såväl i denna som å klotet uppdelas naturligtvis de nämnda zonerna av meridianerna i lika manga likstora stycken. Härav inses, att varje yta pa klotet mot- svaras av en lika stor yta pro-ektionen. Denna är ocksa längdriktig lärgs ekvatorrl men däremot ' icke vinkelriktig. Fel i fråga om avstand och vinklartilltaga snabbt mot polerna, vilka själva, ehuru punkter på klotet, bli linjer av ekvatorns längd i projektionen Den normala formen (fig. 20) ägnar sig för atergivande av trakterna närmast ekvatorn Pa samma sätt lämpar sig den transversala projek@ionen, som ibland användes i mo- derna vetenskapliga arbeten (fig. 21) för atergivande av områ- dena kring tangeringsmeridianen (t ex. Nordamerika i fig. 21). Även snedaxliga former av denna projektion hava konstruerats (Ijg 22).
Konstruktion Den normala fonnens konstruktion fremgår av fig 20.
![]()
Fig. 22. Lamberts ytriktiga cylinderprojektion (snedaxlig form, tangeringscirkeln prickad å bilden) i skalan 1:150 mill.Polycylindriska projektioner. Vid vanliga cylinderprojektioner av- bildas områdena närmast tangerings- cirkeln med de minsta vinkelielen. Vill man lika troget aterge ett annat kartomrade, kan detla ske pa en ny cylinder, tangerande jo@den längs en annan storcirkel än ekva- torn, och denna bör da väljas så att den skär kartomradets mitl. Förfa- ringssaltet användes särskilt olta vid transvetsala cylinderprojektioner, varvid tangeringsstorcirklarna äro mendlaner. Pa detta sält llppstå vdd- projektioner (se sid. 14). Dessa an- vändas bland annat för nyare eko- nomiska kartor cver Sverige samt för den nya generalstabskaltan över Norge och skola även komllla till användning lör den nya topograliska kartan i skalan ] 20.000 över Fi land. Det är uteslutande indir@k.@ linderprojektioner, som hittill be- gagnats pa detta sätt anordnade.
II. Indirekta projektioner
A. Azimutala projektioner
Mitavståndsriktigt azimutal projektion. I denna ha alla punkter samma avstand fran medelpunkten som på klotytan; projektionen ar följaktligen längdriktig i en lör kart- projektioner ovanligt bög grad. För polarprojektionen (fig. 23) kan detta också uttryckas sa, att densamma är längdriktig i meridianens riktning. Den är visserligen varken yt- eller vinkelriktig, men felen beträffande ytor, vinklar och avstand (i andra riktningar an den förat nämnda) haller sig, om projek- tionen ej utsträckes alltför iangt fran medelpunkten, inom rätt rimliga gränser. I likhet med den följande kan denna projektion utsträckas att samtidigt omfatta hela jordytan.
![]()
Fig. 23. Mittavståndsriktig azimutal po- larprojektion i skalan 1:400 mill.Fig. 23 föreställer ena polarhalvklo@et. Om kartbilden utfördes ända till den andra polen, skulle a densamma tillkomma ytterligare sex koncentriska cirklar utanför de nu befintliga, och av dessa skulle den yttersta och följaktligen största cirkein komma att representera den nya polen (se t. ex. fig. 24, tillhörande nästa projek@ion), Pro- jektionen, som ibland ehura med orätt kallats @Postels projek- tion@, finner ofta användning i moderna kartböcker, särskilt po- larprojektionen för kartor över polartrakterna.
![]()
Fig. 24. Lamberts ytriktiga azimutala polarprojek- tion i skalan 1:400 mill.Konstmlktionell av polarprojektionen ar m@cket enket Om q ar den breddgrad, tör vilken man vill berakna cirkelradien (r), blir
r =R . arc (90°-Sr@).Lamberts ytriktiga azimutalprojektion. I denna äro alla gradnatets rutor hka stora som mot- svarande fält å kiotet. Densamma -r således strän@t ytriktig. Däremot förekommer/ särskilt om projektionen liksom afig. 24 utsträckes över ett mycket stort område vissa längd- och vinkel- fel.
![]()
Fig. 25. Lamberts ytriktiga azimutala ekvatorialorojektion i skalan 1:400 mill.Ytriktigheten kan anses ådagalagd, om man bevisar dels a @ela projektionsytan är lika stor med klotytan, dels att t. ex. e on mellan tvenne breddgrader har samma yta pa klotet oc projektionen. För bevisen använda vi lig. 24, där ena jordhalvan fra.. pol till pol återgiVeS i polarprojek- tion. Om jordradien (afl betecknas med R, inses lätt, att projektionens yta blir 4 .@ R'' = klotets yta. Ytan av kalotten bah å klotet är= 2 af.@.ad, ocb ytan av kalotten ca@ är = 2 af.@.ae. Zonen mellan deras underkanter pa klotet ar löljaktligen
2 af..@.ae - 2 af @.ad = .@ . 2 af.(ae- ad).Hela ytan av cirkeln klm å projektionen (endast ena hälften utsatt fir,.) = ,@ (ab)'@, och ytan av hela cirkeln nop =.@ (ac)@; cirkelringen mellan dem a projektionen (motsvarande nyssnämnda zon å klotr
.@ @ac)' - .@ (ab)'@ = @[(ac):' - (ab)'']; @ac)3@ ab)'@ [@ac)a - @ab)3]; @ab)'@ = ag.ad, (ac)2 = ag.ae och ag = 2 af; @[@ac)a - @ab)a] = @(2 af.ae - 2af.ad) = .@.2af(ae-aa
![]()
Fig. 26. Karta över Asien i Lamberts ytriktiga azimutala horisontalprojektion i skalan 1:200 mill. Tangeringspunkten tänkes belägen på 40@ n. br.Projektionen har i senare tider pa grund av sina relativt små längd- och vinkelfel fått rätt stor användning och börjar alltmer vinna terräng i de vanliga modernare kartböckerna pa bekostnadaväldreprojektioner (t. ex. Bonnes), som där under århundraden va- rit nästan allenaradande. Skillnaden mellan denna projektion och Bonnes framgar lätt vid jämFörelse mellan fig. 26 och 36.
Konstruktion. Hur polarprojektionen konstrueras, torde utan utfm-ligal-e beskrivning framga av fig. 24. Den helt prickade cirkehls radie motsvarar, lotets I den skala, vari projektionen utfores. Denna cirkelns halva periferi delas i lämpligt antal delar (for 15°-falt i 12, för 103-fält i 18 st). Tangeringspllnkten (a) tages till medelpunkt for projektionens breddgl-adscirklar, vdlkas perifel-ier gå genom de nämnda delningspunkterna. Radien till cirkeln fcr hredden q blir foljaktligen = sin (90@-@) . 2 R.
Globularprojektion, Denna kan anses utgöra en modifi- katlon av den stereografiska ekvatorialprojektionen (fig. 8). Ehuru strangt vinkelriktig företer den stereografiska projektionen sa stora fel i andra avseenden, att den ger en betydligt miss- visande kartbild, if all denna skall omlaHa ett större område, exempelvis ett halv- klot. Härför kan man dock med uppgi- vande av vinkelriktigheten råda bot genom att i stället använda globularprolektionen. Liksom i den stereografiska projektionen forekomma här endast räta linjer och cirkellinjer. Skillnaden bester däri att i globularprojektionen de båda rata linjerna, mittmeridianen ekvatorn, delas i lika stora delar av breddgrads- resp. meridiam cirklarna. - Projektionen har förr haft rätt stor användning för framställning av halvklotskartor i kartböcker. En modifikation, @Nells modifierade globularprojektion, brukas ibland även i modärna verk för sagda ändamal.
Konstm]ktiol]. Av den ovan givna beskrivningen framgar, hul- man finner de punkter, där breddgrads resp. meridiancirklarna skola skära mittmeridianen resp. ekvatorn. Ytterligare tvä punkter på varje cirkelperiferi aro givna, alldenstund breddgradscirklarna skola dela begränsningsmeridianen i lika stora delar och meridiancirklarna som vanligt sammanlöpa i polen]a. Då man salunda på varje cirkelperiferi kanner tre punkter, erbjuder uppsökandet av medelpunkterna inga svarigheter. Sattet ar for övrigt antytt genol]l några prickade kon- stmktionslinjer I fig. 27.
B. Koniska projektioner.
![]()
Fig. 28. Längdriktig tangerande konisk projektion (norra halvklotet) med tangering på 45° n. br. Skala 1:400 mill.Längdriktig tangerande konisk projektion. Liksom i den direkta koniska projektionen utgoras breddgradscirklarna av kon- centriska cirklar med konspetsen som medelpunkt. Avstånde mellan cirklarna är emellertid här lika stort överallt och över ensstammande med motsvarande avstånd på klotytan. Projektionen ar följaktligen längdriktig i meridianernas riktning. Dessa utgöras av rät.. linjer, vilkas inbördes stall- ning bestammes av den I breddgrad, som tankes tan- gera jordytan. Avstånd i ost- vastlig riktning på namnda breddgrad bli l@ngdriktigt återgivna Itings denna cirkei. Konen blir stympad@ och polen återges följahtligen icke i konspetsen utan ge- nom en cirkellinje med denna som medelpunkt. Vad här sagts, gäller den normala projektionen. Dennas transversala och snedaxliga motsvarigheter forekomma sällan, men den nor- mala projektionen anvandes ibland på grund av de relativt ring yt- och vinkelfelen i kartböcker för avbildande av ej alltför stor lander pa medelhoga och höga breddgrader.-Generalstab@ kartan över norra Norge (gradavdelningsbladen) är u@förd p,oly- koniskt i denna projektion Zonernas hojd är 20' och bladens bredd 1°. Tangeringen ager rum langs zonens mittparallell. År 1909 beslot stortinget att aven generalstabskartan över södra Norge skulle utges på liknande Satt, och en del hithörande kart- blad i denna projektion hava redan utkommit. l@
Konstruktion. I denna projektion är faktorn n (se sid. 12 och 36) = cos tS0, varvid (S0 betecknar tangeringsparallellens bågavstand fran polen Om man med b betecknar bågavstandet mellan tangerinf@sparal- lellen och den breddgradscirkel, vars radie (r) skall beraknas, blir
r-tg (S0 arc A,ifall breddgradscirkeln ifråga löper mellan tangeringsparallellen och polen. Ligger den mellan tangeringsparallellen och ekvatorn, far for- meln detta utseende:r= tg (SO + arc t.
![]()
Fig. 29 Delisles projektion (norra halvklotet) med breddcirklarna för 3O och 60° n. br. längd- riktigt återgivna. Skala 1:400 mill.Delisles projektion. Denna skilJer sig från den föregaende därigenoml att tv,@ breddgradscirklar, en pa vardera sidan om @arfomradets mittparallell och på lika bågavstand från denna, atergeS längdriktigt. Den är alltsa en skärande@ projektionl och har en något jämnare fördelning av pro- jektionsfe]en över kartytan an den föregående. Även i detta fall är konen stympad. Denna och den föregående projektionen forekomma om varandra, och da de ifraga om egenskaper (jfr fig. 28 och 29) i hög grad likna varandra, kunna de vanligen ej utan ingaende undersök ning atskiljas, - En form av Delisles projektion användes (som polyederprojektion, se sid 27) för den finska sockenkartan och for den ekonomiska kartan over Finland, varvid det är de olika bladens ovre och undre gränsparalleller, som återges längdriktigt; projektionens fördelar komma genom sistnämnda anordning mindre till sin rätt, än om de langdriktiga breddcirklarna valts narmare resp. blads mitt- paralleller.
Konstruktion. Om do är mittparallellens polavstånd och an båg- avståndet mellan mittparaltellen och de tängdrihtiga parallellerna saml @ bågavståndet mellan mittparallellen och den breddgradscirkel, vars radie (r) sökes, erhatles vardet på faktorn n (sid. 36) enligt formetn
n = cos t@, . sin 80 arc 60För en breddgradscirkel mellan tangeringsparallellen och polen er hålles radien (r) enligt formeln
r = tg @'@0 arc Po arc 6@
' rälllfrr vad forut (sid. 13) sagfs om sharande- projektioner och för cn breddgradscirkel lllellall tangeringsparallellen och ekvator enligt fomlelnr = tg δ0arc ε0/tg ε0 + arc ε.
![]()
Fig. 30. Ytriktig konisk projektion (norra halvklotet) med tangering på 45@ n. br. Skala 1:400 mill.Ytriktig konisk projektion. I koniska projektioner av hit- tills anfort slag utgöras breddgradslhljerna alltid av koncentriska cirklar och meridianerna av rata linjer, som utstråla fran den utbredda konens spets, bildande med varandra lika stora vinklar. De rutor av pro jektionens gradnät, vilka be- finna sig i en zon mellan tvenne breddgradscirklar, äro följaktligen av inbordes lika storlek. Skulle man vilja öka eller minska storleken av alla rutorna i en sadan zon med lika stort belopp, kan detta tänkas ske därigenom att rnan okar eller minskar radien till den ena av de cirklar, som begräns zonen. Pa klotytan äro likaledes alla rutor inom en breddgrads zon av inbördes samma storlek. Vill man gora projektionens ruto lika stora som klotets, kan salunda detta ske genom att moderera bredtltrradscirklarnat@ radie-} eiter en tåmligen enkel matematisk regel.-Det tal, som uttrycker förhallandet mellan två meridianers skärningsvinkel i klotets pol och i projektionens, brukar betecknas med n; denna term uttrycker följakthgell ocksa storleksförhål- landet mellan 360° och den utbredda koniska projektionens hela toppvinkel (se sid. 12). För en polvinkel i@ mellan två meridianer på klotet blir motsvarande vinkel på projektionen @l, = n z.. Om konen tänkes tangera klotet på 45° bredd blir hela dess utbredda toppvinkel 254° 33' 22" och följaktligen n = 0,71. 1 alla azimutala projektioner är n= 1.
För att ytriktigheten hos en breddgradszon i denytriktiga azimutala projektionen (fig. 21) skall bibehållas vid en förändring av pro- jehtionen till y@riktig konisk masle k@adraterna pd breddgrads- cukla/nas redier ökas I förhållandet n :1. Fig. 31:1 kan an- tagas föreställa en klotkalott i ytriktig azimutal ocll fig. 31:11 samma kalott i ytriktig konisk projektion med en toppvinkel av 270@; n blir bär = 0,7S. Den förra ytan kan uttryckas @rr@ den senare med n.@R. Enligt ekvationer
@F r :' = n @t R@blir da Ra= I r',varav man får R= r\ I .- Utom den här beskrivna ytriktiga kägelprojektionen finnas nagra andra därmed besläk@ade dylika, nämligen Lamberts yt- riktiga kägelprojektion med längdriktig tangeringsparallell en yt- riktig kä,elprojektion @med minsta vinkeltel, samt Albers ytrik- tiga kägelprojektjon mcd två larlgdriktiga breddcirklar(selledan)Konstruktior, Sedan toppvinkelll pa fomt nämnt siitt (sid. 12) be- räkllats och tcmlen n salunda blivit bestämd erhallas radiema for räkllats OCil termen n salunda blivit bcstämd erhållaS radierna för hreddgradscirklarna efter nyss gi.na fomlel. Observelds bör att värdet pa r maste hämtas fran den ytriktiga azimaJaia projPkiionen
![]()
Fig. 32. Albers' ytriktiga kägelprojektion (norra halvklotet) med breddgradscirklarna för 3O° och 6O° n. br. längdriktigt återgivna. Skala 1:400 mill.Albers'ytriktiga kaigelprojektion. Denna projektion ar en skarande@ konisk projektion i så matto, att den har tva paralleller längdriktigt återgivna. Mellan och utanför dessa äger rum en förminskning av vissa avstånd och en förstoring av andra. Langd- och vinkelfel fördelas någor- lunda jämnt över projek tionsytan. Meridianerna ut- göras av räta linjer och breddgraderna av koncen- triska cirklar. Proiektionen skiljer sig fran den nyss be skrivna ytriktiga koniska projeklionen därigenom att konen är st,vmpad.-Pa grund av sina många goda sidor bar Albers' projektion i vara dagar börjat alltmer anvälldas@ icke blott vid kartor i liten skala i karlbocher utan även som underlag för kartverk i större skala (med bladindehling). Utom den normala formen bar aven en snedaxlig form härvid kommit till användning.
Konstruktion. Om den närmast polen bed två längdriktiga graden betecknas med q@0 och den andra med q„ bli dessa vinklars komplementvinklar (polavstånd) resp. rS0 och @1@ Termen n beräknas enligt formeln
n = cos δ0 + cos δ1 / 2.For berakning av en breddgradscirkels (@x) radie (rx) kan brukas formeh@rx = @ sin (@0 + 2 n (cos @„ co|(I stället for do kan naturligtvls användas d,).Vinkelriktigkonisk projektion. ,@ven bos denna bildas bred gradema av koncentriska cirklar ocb meridiarerna av fr3n ko spetsen ullopande räta linjcr. Breddgradscirklarnas radier b stämmas enligt matematiska regier så, att vinkelrikbghet upl nås.
![]()
Fig. 33. Vinkelriktig konisk projektion (norra halv- klotet) med tangering på 45° n. br. Skala l:4OO mill.I själva polen av projektionen icke vinkelriktig. Den kan u föras antingen såsom tangerande, i vilket fail tangeringsparallelli aterges längdriktigt, eller såsom @skarande", d. v. s, breddgradscirklar. Båda formerna äro identiska, och skilln aden utgör en- dast en förändring av ska- lan (se sid. ]3).-Denna projektion användes för n gra av v3ra viktigaste svenska kartverk, nämli- gen generalstabens karta över sodra Sverige (rek- tangelbladen) i skalan 1:100.000 generalstabens översiktskarta i skalan 1:400.000 ge- neral tabens höjdkarta i skalan 1: 500.000 samt generalkartan i skalan 1: 1.000.000. Medelparallellen är härvid 60° 45 n. br. (ungefär) och skalan har minska@s s4 att breddgraderna 56° 58 och 64° 23 n. br. återge@ längdriktigt. Åven för den danska generalstabskartan över Jylland i skalan 1: 40.000 och over hela Danmark t. ex. i skalan 1 320.000 har denna projektion kommit till användning. -De indirekta koniska projek@ionerna kunna såsom sid. 26 framhallits även framställas polykonlskt, d. v. s. i zoner som var och en tillhöra skilda koner (jfr fig. 15). Den svenska generalstabskartan over Norrland (gradavdelnin@sbladen) i skalan I 200.000 (kusttrakterna i skalan 1: 100.000) har sa- lun.ia utförts polykoniskt I vinke@riktlg projrktion med för de olika zonerna langdrik@ig mittparallell. De olika zonerna ha en höjd av 30. Medelparalleller äro 61° 45 62° 15 62° 45 o. s. v. t. o. m. 68° 45. Bladens bredd är 1@ 30 (för 100000-delsbladen: höjd 15 och bredd 45 ).
Konstruktion. Om konen tänkes tangera klotet pa bredden ·@, och komplementvinkeln (polavståndet) betecknas med δt, blir
n = cos δt.Radien lor ekvatorn i projektionen blirre = tg δt / (tg δt/2) cos δt.De övriga breddgraderna5 radier beräknas enligt formelnrx = re (tg δt/2) cos δt.Bonnes projektion. Denna är en konventlonell konisk pro jektion d. v. s. den kan icke geometriskt härledas från den enkla konen utan endast matemati kt beräknas. Breddgradslinjrrna ut- göras dock även här av koncentri@ka cirklar vilkas medelpallkt emellerlid icke sammanfaller med polen utan ligger bortorn denna ett stycke vars längd ar beroende av den tänkla tangelingscir- kelns geografiska bredd (i fig. 34 t. ex. i a). l\@ittmendianen göres längdriktlg@ Skärningspunkterna mellan meridlaner och bredd cirklar avsättas langdriktigt längs de senare, och de pa detla sätt erhall!la punkterna pa varje meridian sammanbmdas Meri- dianerna komma da att utgöras av kroklinjer.
![]()
Fig. 34. Bonnes projektion (norra halvklotet) med tangering på 45@ n. br. Skala 1:400 mill. Projektionen är längdriktig längs breddcirklarna och mitfmeridianen samtytrlktlg. Om vi nämllgen tänka oss en ruta i gradnätet så liten, att dess sidor såväl å klotytan som på projektionen kunna betraktas som rata linjer och beteckna denna ruta med abcd (hg. 35), återges densamma a projek- tionen genom t. ex. fig. a,b,c,d„ dar ab=a,b„ cd = c,d, och höjden ae = a,e,; A abd blir då-@ a,b,d, och bcd = b,c,d„ varav foljer, att rutan abcd. a,b,c,d,. En större gradnätsruta kan naturligtbis tankas sammansatt av mindre sadana, på vilka ·ar för sig nyss antörda betraktelsesätt kan tillämpas. - Bonnes pro- jektion har under långa tider dominerat i kartböcker och på väggkartor, men börjar i vara dagar alltmera ersättas av Lamberts ytriktiga azimutala projektion, Albers ytriktiga kägelprojektion m. fl. på grund av dessas mindre vinkelfel.
![]()
Fig. 36. Karta över Asien i Bonnes projektion i skalan 1:200 mill. Tangeringspunkten tänkes belägen på 40° n. br.En jämförelse mellan fig. 26 och 36 utlaller avgjort till den förstnämnda projek- tionens fördel.
Bonnes projektion igenkännes i allmanhet lätt pa de även för högre latituder rätt flacka breddgradscirklarna samt de i polens narhet tämligen raka meridianerna; om densamma här utsträckes alltför långt i ostvästlig riktnillg, fa meridianerna närmast polen en S-formig krökning (se fig. 34)
![]()
Fig. 37. Stab-Werners projektion i skalan 1:400 mill.Ett speclalfall av Bonnes projektion, nämligen då konen tånkes tangera klotet på 90° br., är den långt tidigare konstruerade Stab-Wemers projektion, dar de koncentriska breddgradscirklarnas mede1punkt är förlagd till polen. Fullbordas projektionen för hela jordytan blir kartbilden hjartformig (fig. 37). Till sina egen skaper liknar Stab-Werners projektion den Bonne'ska utom i ett fall: den ar mittpunktsekvidistant, om man nämligen fattar polen som projektionens medelpunkt (i detta fall = huvudpunkt), dock icke längs meridianerna utan langs radierna i breddgradsCirklarna Projektionen, som aven kan tolkas sasom en azimutal form av Bonnes konventionella koniska projektion, forekommer ibland i äldre kartverk.
![]()
Fig. 38. Normal kvadratisk plattkarta i skalan 1:200 mill.Det andra gränsfallet (se sid 12), nämligen då konen övergått till cylinder, ar Sanson F@amsteeds projektion (se sid. 47) - Bon- nes projektion har använts som underlag för den topografiska kartan i 1:80.000 över de danska öarna (i detta fall kallad @'mo- difieret Flamsteeds projektion@) samt för motsvarande kartor över Ryssland (i skalan 1:126.000), Schweiz, Frankrike, Holland, Belgien, Skottland och Irland.
Konstruktion. Om kontakten mellan klot och kon tänkes äga rum vid (/@, bredd och denna breddgradsvmkels komplementvinkel (polavstandet) betecknas med @0, blir tangeringsparallellens radie
r@ = tg o0Radien för breddgraderna mellan polen och beröringsparallellen be- räknas enligt formelnr@ = tg @0-arc (@50@och för breddgraderna mellan beröringsparallellen och ekvatorn enligt formelnry = tg @0 + arc (d„-@y)@
![]()
Fig. 41. Ytriktig skärande cylinderprojektion i skalan 1:400 mill. Cylindern tänkes skära klotet vid 30@ n. och s. br.Ytriktig skarande cylinderprojektion (även benämnd Behr- manns ytriktiga cylinderprojektion) Denna står i samma for- hallande till Lamberts vtriktiga Cyi@nderFrojektion som den rekt- anr@ulära Dlattkartan till den kvadratiska. Det ar ju alldeles tyd- ligt, att man även med tva iängdriktiga breddgrader kan bibehalla ytriktigiteten. De av gradnåtets rutor, som befinna sig mellan tva bredd grader äro alla av inbördes lika storlek a klotytan. Ifall man hlott pa lampligt sätt kan moderera av- stånden mellan projektionens bredd- gradslinjer. kunna rutorna a denna foljaktligen bringas till full ytover- en5s@ammelse med klotets motsva rande rutor. Om klotets radie an- tages = 1@, cylinderns = r, klotzo nens höjd (mätt langs jordaxeln, se fig. 20 eller 5:11) = h och motsvarande cylinderzons hojd-h@, sa blir, om yttrohet antageS,
2 R π h = 2 r π h@, d. v. s. h@ = h R/r.Den ytriktiga skarande cylinderprojektionen bar lika litet som en annan dylik '@med minsta vinkelfel fatt större anvandning.Vinkelriktig cylinderprojektion @den normala formen även kallad Mercatorsproiektion) Projektionens normala form liknar de ovriga hittills beskrivna normala cylinderprojektionerna däri, att meridianer och breddgradslinjer skara varandra vinkelrätt och uppträda som rata linjer. Ekvatorn (beroringscirkeln) är län@,rd- rtkti@r. På bmse sidor om e@tvatorn vaxa avsta/lde/l mellan bredd- graden@a med sekanten för geo,@raJI.@k@l bredden vilket mediör, att projektionen blir @inkelnktlg, ehur t samtidigt avsevärda längd- och ytfel på längre avstånd från ekvatorn uppkomma.
![]()
Fig. 42. Mercators projektion i skala 1:400 mill.Breddgradscirklarnas radier av taga ju på klotet med cos för geogr. bredden. Vi önska pa pro- jektionen riktigt återgiva t. ex. den vinkel, som diagonalen i en av gradnätets rutor bildar med meridianen. Denna vinkel motsvaras på den kvadratiska plattkartan av vinkeln abd (fig. 43), men den blir där till sitt gradtal ingalunda rikligt åter- given; vi behöva blott erinra oss, att på klotet ad är mindre än bc. Avsätter man åter Iran a mot d linjetl adO = mot ad sva- rande längd a klotet, blir AabdO = den sökta vhlkeln. Men da d skall vara belägen å meridianen cd, måste vi förlänga bd@, tills den nar den likaledes förlängda meridianen cd, och erhålla på så sätt punkten d„ genom vilken a,d„ den vinkelriktiga projektionens mot- svarighet till breddgradslinjen ad a plattkartan, salunda kommer att ga. Loxodromema bll på detta sätt räfa Imjer Om man pa kartan vill utmärka kompassriktningen mellan två punkter, repre senteras följaktligen denna av den räta sammanbindningslinjen meltan punkterna.
Härav foljer hos den vinkelriktiga cylinder projektionen ett projektionsfel, vilket enklast kan uttryckas pa så sätt, att en ortodrom, som ju på klotet blldar den kortasfe förbmdningslinjen mellan två punkter (se sid. i0), här blir en krokig linje och sålunda läligre än motsvarande loxodrom. - Mercators projektion har alltsedall slutet av 1500-talet all- mant använts för sjökort octl manga andra ånda- mål.
![]()
Fig. 44. Transversal vinkelriktig cylinderprojektion. Skala 1:200 mill.I senare tider ha även projektionens transversala (fig. 44) och snedahliga former konstruerats och nyttjats i skilda syften. Zetterstrands karta @Sverige i 32 blad= i skalan 1: 500.000 är ntford i transversal vinkelriktig cylinderprojektion liksom ock Svenska Turistiöreningens Atlas över Sverige@l (1923-1925) i skalan 1:1 mill. Samma projektion, men konstrllerad som vådprojektion (se sid. 14), har sedan 1906 använts for kartan nver de svenska tnangelmätningarna och skall enligt den nya svenska mätningsförordningen även begagnas vid vissa lantmätarekartor. I förra fallet tänkas de olika cylind- rarna tangera klotet längs följande meridianer: 7° 30' 5°, 2° 30 v. 1., 0°, 2° 30' och 5° o. 1 (0°-meridianen = Stockholms meri- dian).
![]()
Fig. 45. Sanson-Flamsteeds projektion i skalan 1:400 mill.Under sista åren ha de norska generalstabskartorna böriat utarbetas i transversal vinkel@ogen projektion i vkdform. Tan- geringsmeridianer for de olika våderna äro: 4° 40', 2° 20', v. 1. 0° samt 2° 30', 6° 10', 14°10' och 18a 20' ö. 1. från Oslo. De sist- nämnda projektionsaxlarna anvandas för kartorna över nordli- gaste Norge, och på grund av längdgradernas avkortning mot polen bli v8dbredderna (och därmed projektionsfelen) här ungefär desamma som för våderna över landets södra delar.
Sanson-Flamsteeds projektion l@littmeridianen och ekva- torn bildas här av räta linjer, som skära varandra vinkelrätt och äro längdriktigt indelade. Genom delningspunk@erna pa mitt meridianen dragas breddgradslinjerna sasom vinkelräta linjer, vilka likaledes indelas längdriktigt. Pa detta sätt erhi@llas alla skä ningspunklerna mellan breddgradslinjer och meridianer, och de s nare kunna härefter lätt inläggas genom alt man med en kroklhl; sammanbinder alla utsana, till samma meridian horande punkte.. Proiektlonen (fig. 45) är som nyss nämnts längdrlktig langs 6redd- @gradslmierna och mittmer@dlanen, men ten ar dessutom @tnktig. Beviset for ytriktigheten är detsamma som för Bonnes projek- tion Vinkelfelen bli i projektionens utkanter, i synnerhet pa högre bredder, rätt avsevärda.
![]()
Fig. 46. Mollweides projektion (15°-fält) i skalan 1:400 mill.Projektionen har hittills haft räl stor användning i våra kartböcker och till väggkartor samt sär skilt för kartor över Afrika. Sasom underlag för översiktskarto över hela jordytan börjar den dock numera få lämna plats fö modärnare projeklioner, e@rempelvis Hammers ytriktiga planisfär (se nedan). Projektionen har i senare tider i likhet med de föl- jande använts i @uppslitsad" form för speciella ändamål. Den kan anses som ett gränstall av Bonnes komska projektion, nämligen da konen tangerar jorden längs ekvatorn och sålunda övergatt till cylinder (se sid. 12).
Moll@eides projektion. Liksom i den föregaende utgöras har breddgradslinjerna samt mittmeridianen av räta linjer och de övriga meridianerna av eliipsbagar eller (pa 90° avstand från mitt- meridianen) cirkelbågar. Orn vi i denna projektion kring den rätlilljiga mittmeridianen vilja avbilda ett halvklot@ blir deitas omkrets nämligen en cirkel (den fortjockade cirkeln i fig. 46), · ars yta skall vara lika stor som balva klotytan. Om klotets radie be tecknas med R och projektmnscirkelns med r, fa vi halva klotyta n 2 @ f@ = @ r@, varav följer att r = f@ @' 2. Breddgraderna bli som redan nämnts, räta linjer, vinkelra@a mot mittmeridianem Deras skärningspunkter med denna skola förläggas så, att den del av projektionscirkeln, som inneslutes mellan tvenne dylika, blir lika stor med motsvarande del av klotytan. Beräkningen av dessa skämingspunkters läge är mycket invecklad; i tab. 11 7arldskz.@f n. Skalz 1: t()fl m.:ll. rneddelas sif@ervärden för var femte grad. Varje breddgradslinje uppdelas från mittmeridianen till begränsningscirkelns periferi i ett antal lika delar, bestämt av gradnatsfältens omfang (för 15@-fält exempelvis i 6, för 10°-fält i 9 st.). Genom så erhallna delningspunkter uppdragas de kroklinjer, som representera meri- dianerna. Önskar man fullborda projektionen för hela jordytan, förlängas breddgradslinjerna utanför den hlttills använda be- gränsningscirkehl åt båda sidor, sa att delarnas antal fördubblas, och de nya meridianerna uppdragas på samma sått som nyss. -Proji ktionen kan i likhet med den föregaende lätt @uppslibas@, da även här breddgraden]a bildas av räta linjer. Härmed menas, att för olika delar av det omrade, som skall avbildas, olika mitt- meridianer användas. Vinkelfelen, som i mit@meridianens närhet alltid äro mblst, bli på detta sätt av jämförelsevis ringa bety- delse även vid avbildande av hcla jordylan i en sadan projek- tion. Fig. 47 ger ett exempel pa en @ uppslitsad@ @ollwcides 4-ItZ7 50 projektion, avsedd att aterge världsbaven med mindre vinkelfel än i den sammanhängande projektionen. Goode's @homolosinan projektion. Denna är ingen själv- ständig projeklion utan en sammansättning av de båda förega- ende. Vid 40° bredd intraffar nämligen, att avstandet mellan 40°-parallellen och ekvatorn använda den sistnämnda meridianerna i Mollweides ptlmeridianens längdriktighet i senare fallet minskade vinkelfel.
![]()
Fig. 48. Godes "homolosina" projektion, uppslitsad för framställning av jordens landområden. Skala 1:400 mill.Därigenom förefinnes möjlighet att längs denna breddgrad sam- mansätta den med Sanson-Flamsteeds i samma skala och s31and utnyttja bada projektionernas goda egenskaper. Genom att för om- projektionen och för området mellan 40° parallellen och polen den förstnämnda vinner man i förra fallet breddgradslinjernas och i polartrakterna. Projektionsutkastet som helhet betraklat blir naturliglvis ytriktigt. I lihhet med moderprojektionerna kan även deras sammansättning uppslitsas@ för yttedigare minskande av vinkelfelen (se fig. 48). -Även andra projektioner kunna @nder vissa förhallanden hopskarvas. En sådan sammanställning har bl. a. gjorts av svensken professor K. D. P. Rosen i Nordisk Världsatlas Aito@-Hammers ytriktiga planis@ir. Om vi tänka oss att ett plan med en därå konstruerad azimutal projektion skär ett annat plan under en vinkel ≷ 90°, sa kan bilden genom mot det sistnamnda planet vinkelrata projektionslinjer överfdras till detta i en mer eller mindre lorvriden form, beroende pa lut- ningsvinkelns storlek (fig. 49). Den ursprungliga projektionens egenskaper återfinnas emellertid icke pa den sekundara pro- tionen med undantag av ytriktigheten, om sadan forefunnits, vilken under vissa forhållanden kan over- föras ehuru i annan skala. Sådana se- \ kundara projektioner kons@ruerades först @ \ av Aitow, senare av andra. Den enda, som vunnit praklisk anvandning ar emel- _ Iertid den av Hammer framstallda yt- riktiga planisfären. Denna erhalles på följande Satt. Ett plan med en uppritad ytriktig azimutal ekvatorialproJektlon om- fattande en jordhalva tankes bilda 60° vinkei med ett nytt projektionsplan, och de u@satta meridianernas antal fordubblas, varefter de pa så satt erhållna skarningspnnkterna i gradnatet pa nyss anfört Satt projicieras över till det nya planet. Harir^,enom erhalles ett nytt gradnat med ellipsformad omkrets ocb dubbelt så mång gradnatsrutor som det ursprungliga (fig. 50). I detta nya grad nät kan darefter en kartbild av hela jordytan inkonstrueras.- Projektionen, som aven någon gång förekommer i transversal och snedaxli,,@ form, ar av tämligen ungt datum (1892), men börjar nu- mera, särskilt på grund av de mindre vinkelfelen i kanttrakterna, anvandas jamte de hittills allmant brukliga Mollweides och Sanson- Fig 50, Harnmrrsytnktiga planis/4r@20@-f41t, normalfor//l) @ skalan 1 4A miU. Flamsteeds projektioner för återgivande av smärre översiktskarto over jordytan. Han Iyckades på detta sä@t framställa en vinkelriktit Cirkelprojektioner. Den projektion, som hittills baft störsb anvandningen for återgivande av översiktsbilder av jordytan, tord @ / \ tit1 51. I@an dtr Grin@ns rirk@loroirk tion i sknlnn 1:600 N/ill Hammers, äro i det foregåe vara Mercators. En stor nackdel, som vidlader denna, är emeller tid den overdrivna ytforstoring, vilken länderna pa högre bredd grader underkastas. I många fall kan denna nackdel icke uppvägas av den för namrkelprojektioner erhallit vidsträcktare karakteristiska vinkelriktigheten Man har ock sedan langt till- baka sökt konstruera projektioner, som aättre skulle motsvara lord- ringama i berorda hänseende, och flera dylika, e@empelvis Sanson-Flamsteeds, Mollweides, nde be@krivna. Ett forsök i denna riktning är ocksa det, som t@jordes redan av elsassaren Lam Sanson Flamsteeds Mollweide- Hammers äro i det loregaende beskrivna. Ett försök i denn riktning är också det som gjordes redan av elsassaren Lam bert i slutet av 1700-talet att inom en cirkel avbilda hel cirkelprojektion . Experimenten återupptogos forst elter ar ]895 av amerikanaren J. van der Grinten som konstruerat tre nagot olika typer av cirkelprolekt!oner av vilka visserligen ingen ttr vare Slg längd- yt- el!er vmkelrlktig men dar forvrldmngen dock hitllits inom nmliga granser. Deras konstruk- tion ar skåligen enkel. Då emellertid varken Lamberts eller van der Grintens prakti k anvandning kan det vara till- rackligt att här visa ett prov pa projek- tionsarten (bg. 51) utan att inga på en matematisk analys avde skilda typerna. Eckerts polarongkoider (av r rek. r@;xo@ = ansvällning). Ett ännu senare \@ @ l ig 5@ iorsök att skaffa ersättning för Mercators projektion har gjorts av Eckert (1906), vilken för ändamålet konstruerat ej mindre an sex olika projektioner. Alla dessa ha dock ett viktigt drag gemensamt, bestående dari, att polen återgives@enom en linje, vars l/Xngd ër hälften av ekvatorns och llka stor med mrttmendianens. De sex Eckertska projektionerna kunna parv@s sammanföraS i tre skllda grupper: 1@ med rathnjiga n endianer, 2. med elliptiska meridianer och 3. med paraboliska rneridianer. I-ig. S. Erkarts polarongkold 1. jamnande (betraffande projektionsfelen). Karakteristiskt för alla sex projektionerna är utom förutnämnda ·pollinje att bredd- gradshnjerna bildas av räta parallella Imjer.-Den första projek- tionens konstruktion är mycket enkel ifig. 52:1). Ekvatorn av- sättes längdriktigt som en rät Ihlje och vinkelrätt genom dennas mittpunkt drages mittmeridianen likaledes en rät linje av halva den förras längd. Genom mittmeridianens ändpunkter och vin- kelrätt mot denna dragas pollinjerna vardera av samma längd som mittmeridianen. Ekvatorn och mittmeridianen uppdelas längd- riktigt i lämpligt antal delar (i fig. 53 för var ]5:e grad) och .iven pollinjerna delas i lika antal delar som ekvalorn varefter nätet genom breddgradslinjernas uppdragande vi@lkelrätt mot mitt- meridianen och sammanhöralldc meridianpunkters sammanbind- ning medels räta Ihljer konstrueras. Den andra projektionen i den första gruppen skall göras ytriktig. Först måste da hela projrktionsytan goras = hela kloty@an. Om r betecknar jord radien i projektionens skala, få vi saledes 6 a2= 4@r2 d. v. s. a=2 r@ Meridianerna konstrueras som forut, men for att full ytriktighet skall uppnås, måste breddgraderna förskjutas närmare varandra mot polerna, vilket sker efter regler, på vilka här icke kan in- Flg 4. E*@rts polnrong@oid 4. I-ig .S4. Flkcrls polnrongkoid 4. gås. Det bör dock påpekas, att varje ekvatorgrad i den ytriktig projektionen blir kortare an motsvarande sträcka i den icke-yt riktiga formen. - Grundplanen i den andra gruppens projek tioner framgår av fig. 52:11- Konstruktionen av den första pro jektionen i denna grupp sker efter delvis samma regler, son gälla för motsvarande projektion i första gruppen Ekvatorn och mittmeridianen indelas längdriktigt och breddgraderna uppdragas vinkelrätt mot den senare. Därelter delas saval ekvatorn som breddgradslinjerna och pollinjerna i lika antal delar, och genom sammanhörande delningspunkter dragas meridianerna, vilka här komma att bilda elipsoidiska linjer Den ytriktiga projektionen i denna grupp (fig. 54) måste först till hela sin yta göras lika med klotets. Vi få sålunda 4 a'l + @ a2 = 4 @c r8, d. v. s. a = 2 r \/4 @ Harefter konstrueraS meridianerna på samma sätt som nyss, under det att breddgradslinjerna för astadkommande av ytriktighet för- skjutas mot polen, ehuru naturligtvis etter andra regler än i törsta gruppens ytrlktiga projektion Även i detta fall torde böra framhållas, att varje ekvatorgrad i den ytriktiga projektionen blir betydligt mindre än i den icke ytriktiga.-I den tredje gruppen konstrueras meridianerna såsom cosinuslinjer efter tornnler, pa vilka utrymmet ej tillater oss att inga. Pollinjernas, mittmeri- dianernas och ekvatorns längder sta dock forttarande i samma relation till varandra. I den första till denna grupp horande pro- båda förra gruppernas ·utjämnande'- projektioner. Den hit hörande ytriktiga formens utseende framgar av fig 55 -Pa grund av de relativt sma projektionsfelen samt möjligheten att utan alltför stort besvär uppnå fullständig ytriktighet torde Eckerts polarongkoider kunna påräkna mångsidig användning. Den först beskrivna av dessa är dessu@om synnerligen lätt att hastigt konstruera. En världskarta i den tredje gruppens ytrik@iga pro- jektion har utsläppts i marknaden av Wagner och Debes i Leipzig. Utom ovan beskrivna kartprojektioner ha ett stort antal dylika så- väl i aldre som i nyare tid konstruerats. Manga av de äldre exempelvis en del "stjärnformade@ äga mes@adels endast historiskt intresse. Andra t. ex. en på 1600-talet ofta använd projektion med trape@formade gradnä@srutor kunna betraktas blott som @revande försök att reda ut svårigheterna vid klotytans överförande i planet. Under de sista ar- tiondena har ett rätt stort antal nya proj@ktioner skadat dagens Ijus. Av dessa har ett mindre urval ovan beskrivits i ord och bild näm- Azirmltala Kägelprojekhoner Cy@inderproiekttoner projektioner tangerande @ skdrande tangerande skdrande littavst[tndsrlhtig fiagelprol, med Delisles projektiol1 Kvadratisk platt- Rck@angular platl- @ | geam az. projehtion.: längdriht. merid. harta. @ ktlrh :@ defln. Odl I langdrikt. ICassini-Soldners breddcirkel, @ I pro@ektion.j konvent. IBonnes projektion.] . . 1. YOiklig kdgelprrjek- 1, Albers'projektton Lgmberts ytrthtiga Ytriklig sklrande geam. Lamberts ytnktlga gi@erddmrF@dkett Ullg@d@rik@ig 2.Ytriktig kägelproj. cylinderprojektibn: cylinderprojekliOn. def@n. @ IHammgrsplanisftr.] 2 amtrnrytrlktigdka.@ medminstavtnkel- IHammersplanislär.]@ IBehlmanns proJ.] Bonnes projektion, @ t l5vl Dwe@dFets prtol d kanvent 5 .@ @ 3 eckerts p,oj 2, 4 o. e. i 1 Goodes homoloaina p @ Stereografisk projek. Vinkelriktig kägt 1- Vinkelrikttg krget- Vinkelrihlig cylin ,t@ geom timl. n ~ projektion med I projektion med 2 derprojektion, defin. längdrtktig bredd- lrngdriktiga bredd- IMerrators projek- cirkel. r @ cirkfar bon.l s . @ konvent. rlhtika cirketpro;. 1, Ortogr, proj, '@ 1, Direhtkoniskproj. Direkt rylinder- geom 2 Gnomonisk proj. 2. Polykonisk proj. projektion. i@i' defin. 3 Polyederproj s t @ @, E.rterna tn@o;. " Globularprojektioll . ........... r nchcrts P@or. 1, 3 2. .' konvent. @ „ 2 v d Grtntens Clrkct. ligen sådana, som synas ha fomtsattningal- att inom en ej alltför langt avlägsen framtid "slå igenom @. Y@terli@arc nagra skulle ju kunnat omnamnas@ exempelvis Schjernblgs många utkast till mitt- punktekvidislanta och yttrogna projektioner@ Breussings @förmedlande@ azimutalprojektion ävensom de for speciella ändamal konstruerade "retroazimutala" och "kontraa7imutala@ diagrammen av Craig (1909) och Maurer (1910).
Projektioners konstruktion
För en del av de i översikten upptagna kar@proiektionerna ha särskilda anvisningar lämnats för desammas uppritande på papperet I en del andra fall iramgår konstruktionen omedelbart av själva beskrivningen. De flesta av dessa anvisningaräro emellertid av rent geometrisk art, och de hava medtagits huvudsakligen därför att dylika konstr tktionssät@ pedagogiskt äro mest instruk- tiva. I praktiken kunna de pa sin höjd användas, då det gäller nnindre noggranna oversik@skartor i li@en shala. Felkällorna äro helt naturligt manga och stora och göra sig dessutom gällande på ett mycket ojamnt och störande satt, I fig. 12-för att nämna ett exempel - kunna måhända längderna ab och ar någorlunda noggrant asladkommas, under det avståndet af på grund av vinkelns @mfa) ringa storlek och vinkelbenens (mf och af) relativt stora längd blir mycket osäkert. Vill man ändock använda den geometriska konstruktionsmetoden, gör man klokt i att trigonometriskt beräkna så manga avstånd som möjligt, Härigenom dels undanröjas en del rent tekniska olägenheter. dels utsträckes metodens anvandbarhet även till större skalor
Vi skola ytterligare berora nagra konstruktionsprinciper av mera allmängiltig art.
Alla azimutala projektioner äro vinkelriktiga i sin medelpunkt. Sammanbindes denna med två andra punkter, vilka som helst, komma sammanbindningslinjerna följaktligen att bilda en vinkel, vars gradial är detsamma a klotet och i aUa de azimutala pro- jektionerna. Vinkelbildens olikhet i de senare kommer att yttra sig endast i form av ollka längd på vinkelbenen,-De sarskilda slagen av projektionstel ökas inom alla azimutala projektioner med avståndet från medelpunkten, Vill man a en dylik prOiekbon uppdraga linjer, som gå ,@renom p(mkfer med lika sfom fel i ena eller andra avseendet. komma dessa linjer följaktligrn al bilda cirklar med projektionsmedelpunk@en ( = tangeringspunkter som medelpunkt. M@n de felcirklar, som inom tvenne olika azimutala projektioner i samma skala motsvara varandra, erhalla naturligtvis olika radler i alla projektionerna. - Om man kånner de proportioner, efter vilka längdskalan (d. v. s. Iängden å felcirklarnas radier) växer från medelpunkten inom tvÅ olika azimutala projektioner, kan man följaktligen utan svårighet för- vandla den ena projektionen i den andra med tillhjälp av mot- svarande skalor.
Samma princip kan med fördel följas även för konstruktion av de geometriskt definierbara kägel- och cylinderproiektionerna@ De azimutala projektionernas «felcirklar@ återfinnas hos kägel- projektionerna ävenledes såsom cirklar kring huvudpunkten, d. v. s. koncentriska med tangeringscirkeln (och i de normala formerna med breddgradscirklarna)@ Vid förvandlingen av en kägelprojektionernas normala former. Även den stereografiska i en annan, avsättas den första projektionens punkter icke såsom nyss under riktig azimut fran huvudpunkten utan vinhelrättfrån ngenngscirkeln och med huvudpunktsazimut ;.,= ni. (A = verklig azimut; se sid. 36).
@I A AA AAA@AAf@i@L'f @AtinirArhara cvlinderDroiektionernas over- tangeringscirkeln och med huvudpunktsazimut i, = n@. (i = verkli azimut; se sid. 36).
Vid de geometriskt definierbara cylinderprojektionernas öve förande i varandra få vi observera, dels att Ufelcirklarna- b räta linjer, parallella med tangeringslinjen (i de normala formern med ekvatorn och breddgraderna), samt att punkternas avstån beräknas och avsättas vinkelrätt fran denna, dels att överföring skalan är densamma a båda sidor om tangeringslinjen.
Den viktigaste metoden for gradnätskonstruktioner och den som alltid måste användas för kartor i större skala, är emellertid bestämmande av de olika gradnätspunkternas läge medels rät vlnkliga koordinater.
För sadan berakning av projektioner, där meridianerna ut- göras av från polen (eller annan punkt å mittmeridianen) under vissa kända vinklar utstrålande räta linjer och breddgradema av cirkellinjer med polen (eller annan punkt å mittmeridianen) som medelpunkt, är tillvägagångssättet tämligen enkelt. Hit höra de azimutala polarprojektionerna och de geometriskt definierbara horisontalprojektionen (iig. 9) kan på detta sätt beräknas. I sistnämnda fall utgoras ju även meridianerna (utom mittmeridia nen) av cirkellinjer.
Antaga vi (fig. 56), att mittmeridianen ar linjen PA„ och (föl t. ex. en tangerande kagelprojektion) tangeringsbreddgraden cirkei- bågen AB, lata vi den forra utgora Y-axel. Skulle origo kunnr tånkas belägen i polen (P), blir fallet mycket enkelt: x = PA . sin A,; y = PA, . cos A,;
Ofta faller emellertid polen utanför det projicierade kartom- rådet Origo måste dock lämpligen forlaggas inom detta, i de koniska projektionerna vanligen i skar- ningspunkten mellan mittmeridianen och tangeringsbreddgraden, i fig. 56 således i A. Genom denna punkt drages då lamp- ligen X-axeln, Laget for skarningspunkten mellan breddgradscirkeln AB och en andra meridian PB bestammes genom langden av linjerna x och y. Vinkeln A är vid a@imutala polarprojektioner (dar till Y- axel valjes någon lamplig meridian och X-axeln drages genom polen) bestamd genom gradnaatets tathet (1°, 2°, 5°, 10@, 15@ etc.). För kagelprojektionerna beräknas vanligen vinkeln ifråga (A,) genom de sid. 12 och 36 givna anvisnlngarna. Vidare behöva vi kanna cirkelradien PA, vars langd erhålles genom de for varje särskild projektion gallande radieformlerna Enligt enkla trigonometriska regler blir nu fortfarande x = PA . sin A„ men y = PA-PA . cos A,
För beräknande av annan punkt, t. ex. B„ varvid @, och )@, måste bestammas, gälla formlerna: x, = PA, . sin A,;
Läget för punkten B„, belagen på andra sidan tangerings- parallellen från polen räknat, är bestämd genom @„ = PA„ . sin i.,; y„ - PA„ . cosA,-PA.
För att medels ratvinkliga koordh1ater ange gradnätspunk- @rrnas läre i de azimutala horisontalprojektionerna, där längd och breddgradericke utgöras av cirklar, måste först punk ternas geografiska koordi nater, breddgrad (@) och längdgrad (A) forvandlas till azimutala koordinater, även kallade polarkoordinater. l,\@ hY ,/ @ @ @' I ocb medelpunktsvi k l lnll(' ) bågavstandet (d). Med azi- =@ mutvinkel förstå vi den vin- kel, som bildas mellan tan- -@ geringspunktens Irreridian @t@ gerrngspunktens rneridia och ortodromen från tar lig,S7. geringspunkten till de.. punkt. vars läge skall beståmmas. Med medelpunktsvinkeln (båg- avståndet) åter mena vi den vinkel, som bildas mellan klotradien till tangeringspunkten och klotradien till den punkt, som skall lägebestämmas. Bada vinklarnas läge i klotet framga av fig. 57.
Antaga vi, att beröringen mellan klotytan och projektions- planet äger rum någonstädes på breddgraden qO och vi medels polarkoordinater vilja ange läget för en annan gradnätspunkt, belägen på breddgraden rr och langdgraden i, begagna vi föl- jande formler: cos o = sin q O . sin ·@ + cos @rO cos (l @ cos i.; (l) cos q . sin il; (2) smd
i är har = skillnaden i geografisk langd mellan punkterna. Om tangeringspunkten ligger på t. ex. 20° v. 1. och den andra punkten på @0° ö. l., blir i. = 60°.
Vid dessa beräkningar maste dock flera saker beaktas. Bäst torde dessa belysas genom n4gra exempel:
Ex. /. Tangeringen tankes aga rum på 40° n. br. och 10° ö. l.; vi önska bestamma d- och o-vinklarna for en punkt, belagen pat 60° n. br. och 90' o. 1.
Vi fa da ekvationerna: I) cos () = sin 40°. sin 60° + cos 40°. cos 60°. cos 80°; cos 60°. sin 80° 2) sin @= sin d I) log sin 40° 9,aobo7 10 + log sin 60° 9,03@ss@ 10 log 9,715@iO-@0 mlm. O,bsa7 log cos 40 9Is@1s.r@ - 10 + log cos 60° 9,(i@la!,7 lo + log cos 80° 9,@ 7 @ lo log 8,@ @ @h!) - | O log 8, i @ @an l o num. O,u@„is . cos @ == 0,ss@i, + O,o@ = 0,@ 1~ 27'; 2) log cos 60 9,oDs()7- 10 + log sin 80° 9,nl@s3@ o 9,(;!133@- 10 log sin 81C 27' 9,kna@ lo log . sin o = 9„ooos-1O; '.- a = 39° I',i.
Ex. 11. Tangeringcn tankes aga rum pat 40@ n. br. och 10° V. I; vi önska bestan1nla @- och a vinklarna for en punkt, belägen på 70° 11. br. och 120° o. 1.
Cos 130° ar =-cos 50'. Härigenom erllallcl- andra termen i ekvationen (I) andrat teckell. I ) log sin 40 @ 9, 30 iU7 1 O + log sin 70 9,!). '3)!) - |0 Iog 9„ il@O - 1O lllllllO,!iO@O log cos 40° 9,@s4l@s-10 + log cos 703 9,5Sl@)s 10 log (-cos 50°) 9,io807-10 log 9,23G82 num. 0,@G84 .- COS (@ = 0,1iOqO -0,IC81 = 0,4SSG; . ·@ = 64 11'. 2) log cos 70° 9,.@840.@ 10 + log (-sin 50°) 9,88425@-10 9,41830- 1O log sin 64° 11' 9,95434@10 log sin a = 9,4G3G6 1O; a =- It)° 55',2
EJC. 111. Tangeringen tankes äga rum på 40° n. br. och 20° v. 1.; @i önska bestämma d- och a-vinklarna tör en p@lnkt, belägen pa 20 n . br. och 10 ° ö . 1. 1) log sin 40@ 9,8080@-1O + log sin 20° 9,)3@0O@ 10 log 9,3@'13 10 nllm. O, @IOS 1) log sin 40° 9,80807 1O + log sin 20 9,5:140G @ 1O log 9,34'1° 10 num. 0,21'@8 ·.- COS @ = 0,2108 + 0,1i2.@4 = 0,8432; ·. 2) log C02 20° 9,97299- 1O + log sin 30@ 9,69897=10 9,6719G- 10 log sin 32° 31@,2 9,73045 10 log sin a = 9,9@5@ 10; = 32° 31',2. - a =@ 60 55',G.
Det pa detta satt erhållna värdet pa a är av naturliga skäl ej det verkliga utan dettas supplement-vinkel. Den verkliga vinkeln a är foljaktligen = 180°-60@ 55',8 = 119° 4',@.
Ex. iV Tangeringen ttnkes aga rum på 40° n. br. och 10° ö. 1. vi önska bestämma o- och a-vinklarna for en punkt, belägen på 10 s. br. och 30° o. 1. log cos 40° 9,88425-1O + log (cos-10@) 9,')033.@-1O + log cos 20° 9,'@7@90-1O log 9,8505@-10 num. 0,7088 -0,@1@6-0,7089 =-0,8205; ·.- d =-34° 51',@ 2) lOg (COS-10°) 9,90385-1O + lOg sin 20° 9,5:@05-1O 9,.')2740- 1O -log sin 34@ 51','@ 9.757@2 10 log sin a = 9,77008-10; ·.- a = 36° 4'. ..ta fall s@äller detsamma, som sagfs beträffande a-vinkeln - log sin 34@ 51@ 9.75712-IU log sin a = 9„7008-10; .- a = 36° 4'.
Även i detta fall gäller detsamma, som sagts betraffande a-vinkeln i Ex. 111. Det verkliga värdet på a ar 180@-36@ 4' = 143° 56'-
Vid den fortsatta beräkningen märker man lätt, huruvida de teckenlörandringar, som uppträda vid bestämmandet av a o h @-vinklarna, återverka a värdena för de rätvinkliga koordinaterna och ,v.
I de azimutala polarprojektionerna, där således tangeringen mellan klot och projektionsplan äger rum i polen, komma breddgradslinjerna liksom på klotet att bilda cirklar kring polen som medelpunkt. De olika projektionsbilderna skilja sig endast dår- igenom, att varandra motsvarande cirklar i olika projektioner ha olika radier. Alla punkter på en dylik cirkel ha samma bågav- stand fran tangeringspunkten, d. v. s. samma ri-vinkel, i dessa fall = polavstand. Liknande cirklar, som dock ej ingb i gradnätet, kunna givetvis med samma egenskaper uppritas även på horison- talprojektionerna Radierna for en breddgradscirkel i polarprojek- tionen och en cirkel med samma medelpunk@vinkel a klotet i horisontalprojektionen aro desamma.
De olika radieformlerna for de skilda azimutala proiektionerlla äro:
- för den ortografiska projektionen.....sin ·)
- for den stereografiska projeklionen...2 @g 2
- fdr den gnomoniska projektionen.........tg i
- för den mittavstandsrikbga projektionen arc
- for den ytriktiga projektionen.......2 sin 2
De rätvinkliga koordinaterna kunna nu beräknas enligt löl jande formler: x = sin o sin @ . r
för ortografisk proJektlon: y @ cos o . sin r) . r sb@ a . 2 tg d . r = cos . 2 tg @ . r
för stereografisk projekiioll: för gn0mol1isk prOiek@ion x @ sin n tg ,@ o. s. v., där r@ jordradien i projektionens skala.
For de konventionella projektionerna gälla vid beråkningell av rätvinkliga koordinater skilda regler, ibland mycket enkla, ibland mera invecklade. For Sanson-Flamsteeds projektion kunna de ratvinkliga koordinaterna beräknas ur de sid. 47 48 givna anvisnlngarna.
Litteratur
Litteraturen rörande kartprojektionerna har under tidernas )pp i likhet med all annan vetenskaplig litteratur svällt ut till etydande dimensioner. Att här ens gora något slags översikt @er densamma kan därför icke komma ifråga. Men da fore- @gande arbete behandlar ämnet från mera allmänna synpunkter tan att ingå på t. ex. en matematisk analys av de olika pro- @ktionerna, synes det mycket lämpligt att fdr dem, som önska irdjupa sitt vetande på omradet, ge anvisning dels på en del jdigare vetenskapliga handböcker och avhandlingar, dels ocksa nagra kartverk, som åskadliggöra, hur olika projektioner te g i den praktiska användningen. @LL, M., I:@artenkunde. 1. Die Projektionen Samml. Goschen N:o 30. Berlin und Leipzig 1912. Innehaller en elementar översikt av de brukligaste kartpro- jektionema ävensom ledning för dcsammas geometriska konsbuk- tion och talrika formler for deras beräkning. VnAL, ARTHUR, Die Kartenentwurfslehre (Die Erdkunde. Eine Darslellung ihrer Wissensgebiete, ihrer Hilfswissenschaften und der Methode ihres Unterrichtes, herausgegeben von MAXIMILIAN KLAR. XXVI. Teil). Leipzig und Wien 1903. En enkel och redig framställning av kartprojektionsläran utan allt för betungande matematiska utlaggningar, lämpad och avsedd som handledning för geogratilärare @besonders an der Mittetschule". .sMeL, O. und ECKERT, M., Geographisches Praktikum für den Gebrauch in den geographischen @bungen an Hochschulen. Leipzig 1908. Innehaller anvisningar för den matematiska berakningen och konstruktionen av ett stort antal projektioner jämtc en del tabeller för gradnåtskonsb-uktioner. 74 Zöppritz, Karl, Leitfaden der Kartenentwurfslehre. I. Die pro- jektionslehre. Dritte Auflage. Herausgeg. von Alois Bludau. Leipzig und Berlin 1912. En god och utförlig handbok särskilt för den teoretiska kart- projektionsläran. Innehåller även en mängd tabeller för beräkning av projektionsfel samt konstruktion. Arbetet är användbart för såväl teoretiska som praktiska studier. Tissot, A., Mémoire sur la représentation des surfaces et les projections des cartes géographiques. Paris 1881. En matematisk analys av ett mycket stort antal kartprojektioner. Det klassiska arbetet för diskussionen om projektionsfelen. Hammer, E., Die Netzentwürfe geographischer Karten. Stuttgart 1887. Tysk bearbetning av Tissots nyssnämnda arbete. Hammer, E., Über die geographisch wichtigsten Kartenprojek- tionen insbesondere die zenitalen Entwürfe. Stuttgart 1889. Arbetet sysselsätter sig, som titeln anger, främst med de azi- mutala projektionerna, men innehåller även värdefulla anvisningar rörande konstruktionen av transversala och snedaxliga koniska och cylindriska sådana. Särskilt viktiga i praktiskt hänseende äro tabellerna för omvandling av de geografiska koordinaterna i azi- mutala sådana för olika breddgrader. Schjerning, W., Über mittabstandstreue Karten. Abhandl. der K. K. Geogr. Gesellschaft in Wien. Bd. V. N:o 4. Wien 1904. En diskussion om längdriktighetens problem jämte nykonstruk- tion av en del mittavståndsriktiga projektioner. Behrmann, W., Zur Kritik der flächentreuen Projektionen der ganzen Erde und einer Halbkugel. München 1909. En jämförande analys av de ytriktiga projektioner, som kunna ifrågakomma för världs- och halvklotskartor. Behrmann, W., Die beste bekannte flächentreue Projektion der ganzen Erde. Petermanns Geogr. Mitteilungen 1910. Meddelar en sammanträngd ehuru ingalunda svårbegriplig framställning av felproblemen vid konstruktion av världskartor. 75 Lambert, J. G., Beyträge zum Gebrauche der Mathematik. Teil III. Berlin 1772. Det klassiska arbetet för diskussionen om de ytriktiga pro- jektionerna. Gauss, C. F., Allgemeine Lösung der Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird. Schumachers Astron. Abhandl. Heft. III. Altona 1825. Det klassiska arbetet för diskussionen om de vinkelriktiga pro- jektionerna. Eckert, Max, Die Kartenwissenschaft. Forschungen und Grund- lagen zu einer Kartographie als Wissenschaft. I. Berlin und Leipzig 1921. En allmän diskussion från geografisk synpunkt av bl. a. de till kartprojektionsläran hörande problemen. Hammer, E., Über die Planisfäre von Arrow und verwandte Ent- würfe, insbesondere neue flächentreue ähnlicher Art. Peter- manns Geogr. Mitteilungen 1892. Originalpublikationen av Hammers ytriktiga planisfär. van der Grintem, A. J., Darstellung der ganzen Erdoberfläche auf einer kreisförmigen Projektionsebene. Petermanns Geogr. Mitteilungen 1904. En kortfattad framställning av cirkelprojektionernas teori, be- räknng och konstruktion. Eckert, Max, Neue Entwürfe für Erdkarten. Petermanns Geogr. Mitteilungen 1906. Originalredogörelsen för de Eckertska projektionernas teori och konstruktion. Sjöström, W., Elementarbok i Kartprojektionslära. Helsingfors 1916. Delvis bearbetning efter Bludaus', Defossez' och Zöppritz' utförligare arbeten. Utom föreliggande arbete är Sjöströms lilla bok det enda elementära och översiktliga arbete pa området, utgivet på svenskt sprak i nyare tid. Arbetet är de1vls lagt på mera matematisk bog. Åven utgivet pa finska. VAHL, MAR@IN, De viktigste Kartprojektionen Nyt Tidskr. f. Mat. Aarg. 22 Kj0benhavn 1903. ROSEN, P. G., Om den vid svenska topografiska kartverket an- vanda projektionsmetoden. Stockholm 1876. Redogörelse (med detaljerade tabeller) for den vinkelriktiga koniska skärande projektion, som användes för rektangelkartan över södra Sverige avensom för den över norra Sverige använda projektionen. THORDEMAN, BROR, Våra kartor. Kort redogörelse fdr svenska kart- verk. Utgiven av Generalstabens Litografiska Anstalt. 3. uppl. Stockholm 1915 (ny uppl. utkommer 1925). Redogorelse for svenska topografiska, ekonomiska, geologiska m. fl. karh@erk, vanligen mHr.l, RAFAEL, E., Kartprojektioner använda för Lantmaterjsty- Sveriges kartläggning. En översikt. Ulgiven a@ Karlografiska Sallskapet. StocWIolm 1922. m. fl. kartverk, vanligen med angivande av deras projektioner. Sveriges kartläggning. En översikt. Utgiven av Kartograiiska Sällskapet. Stockholm 1922. En utfm-lig redogörelse for det svenska kartväsendets organi sation ocb utveckling genom tiderna. BENTaEN, B. E., Norges Geografiske Opmalings landkarter og deres bruk. Utgit av Norges Geografiske Opmåling Kristiania 1919. Redogörelse för norska kartverk, delvis med angivande av deras projektioner. SCHIVE, J., Om de ved Norges Geografiske Opmaaling anvendte Kartprojektioner. Teknisk Ukeblad, 70. aarg., Nr. 52. Kristiania 1923. Beskrivning av de norska of iiciella kartprojektionerna jämte en diskussion av deras egenskaper. relsens kartverk. Suomen Maanmittari-Yhdistyksen Aikakaus kirja (Finlands Lantmätareförenings Tidebok). 32. årg., h 4 och 5. Helsingfors 1923. Redogörelse föl de finlåndska officiella kartverkens projek- lioner och dessas egenskaper jämte diskussion av n@a forslag till projektioner för finlanska kartverk. I flera av ovannämnda arbeten finnas utforligare litteratur- forteckningar -Nagon fullt tillfredsställande framställning över kartproiektionernas historia torde knappast finnas, men i regel aterfinnas spridda historiska notiser i de större handbdckerna. Nedanstaende arbeten, som behandla viktiga tidevarv ur kart- proiektionernas historia, torde kunna vara av intresse: WOLKENHAUERI W., Leitfaden zur Geschichte der l@artographie in tabellarischer Darstellung. I\@it Hinweis auf die Quellen-Litte- ratur unter besonderer Beritcksichtigung Deutschlands, Öster- reichs und der Schweiz. Breslau 1895. NYSTRÖM, J. F., Geografiens och de geograliska upptäckternas historia till början av 1800-talet. Stockholm 1895. NOI@DeNSKIOLD@ A. E., l@acsimileatlas till kartografiens aldsta historia, innehallande avbildningar av de viktigaste kartor tryckta före år 1600. Stockholm 1889. AVERDUNK, H. and MULLER-REINHARD@ J., Gerhard Mercator and die Geographen unter seinen Nachkommen Ergänzungsheft N:o 182 zu Petermanns Geogr @itteilungen. Gotha 1914. Följande kartverk med allmännare spridning torde kunna tjäna som åskadningsmateriai för det praktiska studiet av kart- projektionerna. DEses, E., Neuer Handatlas über alle Teile der Erde. Leipzig 1905. Mlttavståndsriktig azimutal ekvatorialproiektion halvklotskartor; d:o horisontalprojektiOn: Asien; Delisles projektion: östra Forenta Staterna; normal vil@kelriktig kollisk projektion: Nordasien, Väst- asien, Sydasien, Ostasien, Australiens fastland, Forenta Staterna, Europa, mell. Sydamerika; snedaxlig vinkelriktig konisk projektion: Vastafrika;snedaxlig vinkelriktig cylinderprojektion: Mellanamerika, Sydostasien. 78 DlrRcKe, Schulat]as für höhere Lehrallstalten. 58. Uppl. Braunschweig 1924. Langdriktig konisk projektion l'yreneiska halvön, Frankrike, Italien, Balkanhalvön, Britiska oama, Skandinavien, Österrike- Ungarll, Tyska riket; Lamberts ytriktiga azimutalprojektion: halv- klotskartor, polarkartor, Asien, Afrika, Australien och Polynesien, Nordamerika. BONNIERS Världsatlas (Svensk uppl. av Andrees Handatlas) Leipzig 1919-24. Mankarta i ortografisk ekvatortalprojektion: Afrika; Sanson-Flamsteeds projektion: Ekvatorial- azimatala projektion: halvklotskartor, polarkarh Sydafrika. De flesta kartorna i Bonnes projcktion, kartorna i Bonncs projektion. STIELERS Handatlas. 10. uppl. Gotha 1921 25. Lamberts ytriktiga azimutalprojektion: halvklots- samt nord- och sydpolarkartor, Afrika, Allstralien; Sanson-Flamsteeds projek- tion: Sydamerika. De flesta kartkollslruerade projektioner, F@GERLUND, E-IIL och RONNHOLhl, NILS, Geografisk skolatlas. 2. uppl. Stoc bolm 1924. Nells modifierade globularprojektlon halvklotskartor; mitt,T@- FAGF,RLUND, EMIL och RÖNNHO1,M, NILS, Geografisk skolatlas. . uppl. Stockholm 1917. Nells modifierade globularprojektion: halvklotskartol; miltav- ståndsriktig azimutal projektion: polarkartor; Lamberts ytriktiga azimlltalprojektion: Afrika; Sanson-Flamsteeds projektion: Austra- lien och Sydamerika, ROTI@, MAGNUS, GeGgrafisk Atlas för allmanna läroverken. 14. uppl. tillökad och reviderad av prof, OTTO NORDENSKJOLD och lektor SIXTEN SAMUELSSON. Stockholm 1925. Stereografisk ekvatorialprojektion: halvklotskartor; mittavstands- riktig azimutal polarprojektion: polarkartor; Lamberts yb-iktiga azi- ZETTERSTRAND, S. och ROSEN, K, D, P., Nordisk Varldsatlas, ut- given till forman för svenska Roda Korset. Stockholm 1919-25, Arbetet gcr exempel pa uppslitsade och sammansatta projek- tioner samt åtskilliga i dctta arbete ej namnda, for atlasen ifråga SoDkRI.uND, ALrRED, Svensk Skolatlas I, for folkskolall. Stock- TAB E L LE R. Tabell 1. Lärgd i km. för er breddgradsbåge om 1' a olika breddgrader å jordsiäroiden och a ett klot av samma s@orlek (R = 6370,@8:/ km .). q Sfaroid Klot rr Stärold Klot @ @ Slarold Klot 0 1 Itl,31 11138 1 31 95,49 9530 61- 543u 53,90 @ | 1ll,2D 11137 32 94 46 Y42s 62 52,39 52,2u 2 II1,24 lII 12 33: 9344 93,25 63° 50,67 50,46 3- I I 1, 16 1 1 1 03 34° 92,37 92 @7 64- 48,93 48,74 4O I]lu4 1109l 3s- 91,29 slr3 ! 6s 47,17 46,9Y 5O IlOss @ ]107fi 36 903b 89,96 b6 45,40 48,22 6' 110,7u 110,s7 37@ B9,oo 88,90 67@ 43,61 43,44 7@, 110,46 110,3b 38 87,82 @ 87,61 68@ 41,62 1 41 8s 8 110,23 llo,lO 39° 86,62 86,4@ 69 4@),01 39,6s 9,, IOY,Ys 109,8@ 1 40' 85,33 85,@7 . 7()@ 38,18 38,o3 1() 109,G3 IU9,49 41-: 8433 83,91 | 71 36,3s 36,2u 109,27 109,]4 ;2; 82,84 82,32 72 3@,50 34,36 1@ 1()8,89 1()8,76 | 43- 81,53 31,32 73 32,G4 32,51 13' 1()8,47 lu8,33 1 44@ 80,20 79,98 71 30,78 3()6s ,@c 1()8,(@2 (07,88 45@ 78,84 78,62 7s 28,Y3 23,78 8@ 1 ) ) U,23 @ I I D l() 39' @ 86 52 86 41 i@ 69@ 1() (11 1 ,@Y,86 () @ IOq,9,S 109,61 40' 85,33 85'17 @7()' 3d'18 ' 38,03 10@l 1()9,fi3 109,49 41' 8@,13 83'91 71 36'35 36,20 11 1 109,27 109,14 @2'@ 8284 82,62 72 3@,5 34,36 12 1 108,89 108,75 43 81 b3 81 32 73 32,64 32,51 13 | 108,47 108,33 j 11' 80,20 7999 71 30,78 : 30,65 14, 108p2 107,88 @ 45 ! 78,64 78,62 75@ 28,Y3 28,78 15@1 107,64 107,39 16° 7746 77,23 176' 27,01 26,90 )fi' 107,U2 106,66 47° 76,05 75,63 77' 25,12 25,01 17 106,47 ! 106,33 48' 74,62 744U @ 78- 23,22 23,12 18° 105,69 105,74 49: 73,16 72 94 79' 21,31 21,21 19 10,;,26 10513 il SO' 71,69 1 71 47 8D' 14,39 @ 19,31 2()' 104,63 1044s @ Sl- 70,19 6997 81' 1i47 17,39 21@ 103,66 103,80 52 68,fi7 @ 6845 82- 1564 IS47 22 103,2b 103,og @ 53 67,13 66,91 83 13,fil 13.6 23'' 102,61 ]D2,3s 54' 65,57 65,35 84' 11,57 11,62 .,@„ 101,74 101,57 SS 63,99 63,77 8@' 9,73 969 25 I O(),Y4 1 00,77 56 62,39 62, 17 86 7,79 7,76 26 1OO,ll 99,93 57 fiO,76 60,56 87' S,64 S,82 27 @ 9(@ 24 '@9,37 58 59,13 S9 93 88 3,Y(@ 3,88 28' 98,36 98,17 S9' 57,47 57,26 89' 1,9S I,94 29 97,43 97,24 60 55,7D 55 69 9U O ro 0.@1 3U" 96,47 46,20 , ' _ 7abell 2. Längd i km, för en meridianbåge om 1° a olika breddgrader a jordsiäroiden A klotet är motsvarande matt överallt 111,@8 km. (R=6370,@3 km.). Brcdd Storlek Bredd Storlek @ Bredd Storleh @ Bredd @ Storlek 0-1 IlO,ss 23°-2@; 110,74 46-47@ ,ls j 69'-70' 111s4 1'-2- 110,s6 24-25 110,7s 47° 48' 111,@7 70°-71° IlI,ss 2 -3 110,s7 25 26 110,77 48 -49° 111 19 ! 71 72 111 67 3'-4 110,s7 26'-27' 110,78 @9-50@ 11121 72°-73' IlI;ss 4' 5' 110,s7 27°-28' 110,80 50°-51- 111,23 73@-14- 111,59 5 - 6 1 1 0,s7 28 - 29 1 1 0, 82 5 1 52 | | | ,2s 74 75 1 1 1 ,60 6'-7' 110,s6 29°-30 110,83 52'-53' @11,26 75~-76° 1@1@61 7 8' IlOss 30° 31 110,85 53-54' 1@1,26 76°-77~ 111,62 8'-9'' IlOss 31°-32- 110,87 : 54-55 11130 77@-78 111,63 9@ 1O IlO,ss 32'-33- 110,66 55°-56' 11132 78° 79' 111,64 10' -11° 110,6r) 33' -34' 110,90 56-57' 111 34 79' 80' 111,64 11 12 11061 34°-35 11092 1 57'-58' 111,36 80'-81 11165 12-13 11062 35° 36' 11024 @ 58'- 59 11137 81°-82' 11166 13- -14' 11062 36° 37 11096 59-60' 111 39 82°-83' 111,66 11°-15- 11093 37°-38@ 11(),96 60-61; 111,4r 83-8] 111,67 15'-16° 110,64 38°-39 110,99 61'-62' 111,42 8@- 85 111,37 16-17' IlO,ss 39'-40@ IlI,ol 62@-63 111,44 85'-86 111,67 17 18- 1 IoBh 40 - 41 111,o3 63:-64 111,49 86 -87 111,96 18@-]9c 110,68 @ 2 11I,o5 fi@-65 111,47 87'-88 11168 20' 110,6@ @2@-@3- 111,07 65 66 111,@9 88'-89 11168 20'-21' 110,70 @3,-@ 111,03 66-67 IlI,so 89-90 111,68 21'-22' 11071 @ 5 111,11 67-68 111,s2 @ C 23 11073 @5 46 111,@3 68 -69 111,s3 8 Tabell 3. Projektionsfelens storlek i ortogralisk (A), stereo- grafisk (B), gnomonisk (C), mittavstandsriktig (D) och ytriktig azi- mlltal projektion (E). q betecknar bågavståndet fran tangerings- plmkten . b långdggradSfel@ i polarprojektionen ab = ytfel 2 (o = vinkellel = O- 15@ 30@ @5° @ 60° 75° 90° a l,ooo l,@oo @ oo l ooo l,oo(@ I,o@o l.eoo b l,ooo 0,O(iG o@sor o,707 0,-,oo 0,2 iO 0,oOO A n7 I,ooo (),oCC 0,8cfi 0,70@ 0,@a@o 0,'5!1 0, U0 2 „ () o@ 1 59@ 8 @ 9@5@ i 38;57@ @ 72 9@ @ 180@0 a bllno la@l7 bo.@ 1,172 I@ nl I„S'@ 2,ooo = F@=@ a l,ooo booo looo lllo,) booo l600 bl)uo A b l,ooll 0,!16C o,q@i6 o@ol o@-@oo o,2@3 O,l@)O ob l@ooo 0.!@GG o@a@iG o,l07 o5@,@) o @ o@ l@o 2 (l () o l 59@ 8 l@' 19 @5' 38 57@ 72 9@ @80 0 a ! I,oao 1,ol7 I,n,2 | 1@ll2 1,333 1,l89 2,ooo B I,ooo 1,017 bo72 | hl7@ 1,)3.1 1,5ao 3,ooo ab I,000 bCI@ 3 1 1,3n@ b,78 2,62@ 4,ooo 2 (l ooo@ o@o@ @ o o@ @ o ()@ ooo@ ol @ o@ol a I,ooo @ ho/2 l@ols 2,ooo 4,ooo l4,9l @ ,. b la)ol) 1,oa6 l,l.;3 b@ 2,ooo 3,slil CO @- nb l@ooo bllo 1,51o 1 2,8@8 8,ooo 1 57,G9 2 (@ ooo@ 1°59' 3°14' @9o45l 38o57l 72-9@ l80;0 a @ uoo I l,ola @,017 1,1ll l,232 1,3sG @,67l b l,ooo l,ooo l,ooo 1,Ol!@) I,ooo 1,3@)o l,oo D ab l,ooo: bol2 1,1)47 Inll l,203 l,8s5 1-,7l 2@ ooo@ @38@ l 2-38l @ 6@ 0's2@ l7@2l@ 2s@39 a l.(loo @ l,0@3 l,oi@ i l,082 l,l 6 1,2@ b l,ol@) 0,')!/1 0,3CG 0,!121 (),8CG o@7l)3 ().7@, E ab l,nM@ l,ooo 12)@0 la)oo I oo() I ooo l ooo 2 @ o o@ 0 59@ 3 58@ 4@ If;@2(i' 2sol7l 38 57 82 Ta6ell 4. Projektlonsfelens storlek i längdriktig konisk pro- jektion med tangering på 45° br. (F), I,amberts ytriktiga koniska projektioll med tangering pa 50° br. (G) och vinkelriktig konisk projektion med tangering på 30° br. (H). q betccknar bågavståndet iran tangeringscirkeln a = brrddgradS@el l i normal projektion b = längdgradsiel | ab = ytFel 2 r„-vinkcliel @ I ·/= 30° 35' @ 40° 45° @ 50° 55" 60 @ @= = = a @ I,olo @ ,oo@ o l,@r@ l,o I,u@lo l,ruJ 1,O@l(! I,oo@ I,ol@u 1,@ l I,ol(r F a@ I @,a(@ (-IL 1.@ 0'@,' 0 1 '' 0 ()' O 1@' 1 O' '@ '@Y q= @l) 31' 40@ 45° @ 50° 55° 60- a I n)o bol@ InOI I@(OO l@nnl I,q@ F b @ ° @ ° Q @ ° @ ( 0 1, I @ ) 1, o ( @ o ab l@ ln la)l@ l,(a(l 1@1„,0 I,n()@ l@016 I,nl@ 7@ 2' 0'@7' @ 12' O ()' O 1@' 1 0' 2 @8' q 20 30 40 @ 50 @ 60 @ 70 1 80 a @ „ I ,(@G G b (),a7l 0,9°l j o@ 1,OOO o,97@ 0,@ o,3l3 ab I,noo bol)o la@oo bnoo booo hooo 1 000 2 (@ 15 40 9 20 @ 4 8 @ 0 0 3 6 5 @2 fi 40 @P- 0 15 30 45 60 75° goa a 1,110 I,GJ@ 1,000 I,@o@ I,Isn @ I,Dor @ OG b I,@o 1,031 I,ooo I,o,@. I,)so l,rG3 r H ab I, @30 1 „ G8 I ,OI)G I 1@ . G I ,3@, 3 ' @ @3 r @,,, O O@ 0'()1 0 ()' i'()' o o( () 0' @ o O@ 8@ 7abeil 5. Projektion.sfelens storlek i den kvadratiska (1) och den rektang@lära plattkartan med längdriktig 45°-bredd (J), Lam- berts ytriktiga cylinderprojektion (K) och den vinkelriktiga cylinder- projektionen (Mercators projektion) (L). r,r betecknar bågavstandet Irån tangeringspunkten. a = breddgradsfel @ . . . b = längdgradsfell I normal proJektlom ab = ytfel 2 a = vblkelfel - q 0@ @5°@ 30° @ 45° Lt'@o° 75° 90' I,ur@ s @,@ss 1,414 2,U-K@ 3,864 co h I l)@K@ I ((@)() I ,@K)@ )rK) I ,(KK) 1 ,oou 1 ,()@ .h I ,(I@K@ I ,035 I ,ls., 1.414 2,@ ) 3,884 oo 2 @) U ()' I 59' 8 14' 19 @,)' 38 57' 7@ '@' 18@) O' = „ no @ n@ 4.@ n@ 7.@° qn- a 1,OK) I,035 1,IS5 1,414 2,o o 3,364 CG h I (XKU I 000 1 ,OKKn I ,OUX) I ,O X) I ,OOX) 1 ,00() ab I u03 1,n35 I,lss 1.414 2r n 3,864 @ 2(@ U'()@ 1 59' 8 14' 19'@45' 33 57' 7@°9' 18U 0' n l,ooo l ooo l,rno l,roo 1,414 2, h 0 7u7 () 732 0,8!6 1 ,uoo : l,o o I ,oro I,oox J ah 0.707 j 0732 0816 I non 1414 2,732 co @!o 19°45@ @ 1i°48' 1i@36' @ U 0' @ 19 @5' 5.@'@8' 180 0' I uoo 1 03s 1 ,Iss 1,4l4 @ 2,ooo @ 3 864 @ 1@ b l o n 0;966 0,866 0,7n7 j 0,s@3 0,2ss 0,oon 2(@) @ Ö°0' 3°58' @6-26' 38°57' 73 44' 11'1r57@ 130°0 (K @ I,Ox) 1,u3s l,IS5 1,414 _.o u 3,664 | b l,ono 1,035 I,lss 1,414 2,uoo 3,864 j @ ab l,onn 1,n72 1,333 2,03u 4,nn() 14,93 oo ?(,, @ 0'0 0 0' 0 U' O'O' O'U' ()°O' 0"0' 7abell 6. Rätvinkliga koordinater (mm.) for en karta over AJrika i Lamberts ytriktiga azimutalprojektion. Tangerings- pullkt vid ekvatorn på 20° o. 1. ·@ avser avsianden saväl mot norr som mot söder fran ekvatorn. i, avser avstanden fran tange- ringsmeridianen saväl mot öster som mot väster. Skala 1: 40 mill. . = 0@ 1 0 ' 20° 3()'1 40@' 50' @ __ 40 @ 0,o() 22,G2 44,99 66,B7 | 88,o3 @08,18 Y @08,94 @09,33 @ @10,37 112,23 @4,91 118,@.3 30'J@ (),00 2@,88 49,52 73,83 1 97,2() @ @19,74 y 82,43 82,71 @ 83,62 @ 85,11 87,30 90,24 23°/271 @ 0,oO @ 25,99 51,74 @ 77,15 10l,78 j 125,@1 y @ 64,72 @ 64,9h 6@;,G9 66,33 @ 68,68 @ 71,13 20'.r @ l),(@ 26,48 52,75 @ 78,57 IQ3,7b 127,9a y @ 5,@,31 55,51 56,12 57,20 58,75 60,81 0.oO 27,43 51,(.7 81.45 107,6s @ 27„G 27,8 23,18 28,72 29,53 - () .@ (),00 27,76 ,;;,11 82,43 1()8,94 - °,@° @) ° Tabell 7. Rätvinkliga koord nater (mm.) till en k@ azimutalprojeklion. Skala l: 40 mill Tangerillgcpunk stålldet Iran slstnärnnda meridlan at bada sidor. i. = l) lo 2@) 30 9() .r 0,nn y 121,a3 80 .r o@o() s,04 (3,03 14,-,r l8, y 9 i,23 9h,13 97,17 98@Ds 70 .r 0,n) 9,7n @ 19,14 27 97 36 ul \l (i8,sl 69,sa 71,s3 7393 7!)2n 66 33 .r o@oo 1 1@22 22,IG 82,b8 12 17 y 59,.i3 60,3s 62,s6 66,28 7l,1@ 6()'.r 0,no l3,D5 27,6l .1(),3G 52,@7 y 11,rfi 42,44 15,2s 13,70 58,7!i sl) r 0,nn 17,32 3s,29 52,us 67,@r, y l3@sD ls,02 l8,39 23,94 31,C2 1() .r 0,@n 21,29 42,o!) 62,17 81 12 y l3,89 12,s4 -3,91 -2,@ 30 .r o,03 21,22 48,m 71 on 92,8@i y ll @ss 40,13 -- 36,o2 -29 11o 19,2!) 23- 27 r o@oo 2s,88 sl 3@i 76 @' S9,Sfi s8,(@.i s372 -4648 - 3 20 .r 0,nn 26,68 s2,94 73,so (n@ y 68,94 -67,43 - 63,11 - ss, r oloo @ 28,24 s6,99 8@42 @ 11()7 y i 9s,23 @ -91,33 @ 8@3,7G 82 2M 71 Ml () @ o@)o 30n3 @ 5971 38,72 ll(i,G y -121,33 l2042 @ls99 @o9,23 @ 3, 1()- r o@oo 3081 61,oo 91 lO y 117,nn 115 i3 141,49 -131 1l karta över Nordamerika i Lamberts ytriktiga @nkt pa 45° n br. och 100° v. 1. i avser bagav- 50 fiO 70' 8() 90° 1()0' 2,1q 25;5s 27,35 29,37 30,01 29,73 103,31 107,81 111,71 IIS@D4 120,37 121,81 13,73 19,92 54,75 58,06 59 68 59 s3 34,G7 91,G3 99,11 107,3 11596 j 12184 51),3i 5/99 63,75 G771 6979 6977 77,8:1 8549 94,20 j 103r3 11374 12122 53 Go 72 91 80 34 35 G9 88 fi4 @ 89 09 6') 89 73 34 8102 95 ol @ 108 6s @ 12i 78 81,5G 9i,22 104,38 @ 111,93 116,64 i 117,82 @1,44 53,16 6@,71 81,62 @ 98,20 @ @15,51 9@,43 11'i,70 126,s8 17,92 31,46 @ 17,29 ; _ @l3,@2 -6@72 121,30 23,.13 I 2,i 43 _ 3'@ .13 ; ' _ @ - 1- _ r 2 Tabell 8. Rätvinkliga koordinater till en karta över Asien i Lamberts ytriktiga azimutal- projektion. Skala 1: 40 mill. Tan@eringspllnkt p@ 40° n. br. och 90° ö. 1. i@ avser bågavståndet från sistnämnda meridian åt båda sidor. @Coordinater för polen: x = O,oo; y = 134,@o. @. = 0° 10° 2G° 30@ 1 40' | 50° 1 60- 70@ 1 80@ @ 90° 1 100° 1 110- @ 120' 80 x 0,00 5,12 lO,os 14,78 19,os 22 B1 25,97@ 28,8s 1 29 92 @ 30,60 30 35 29,15 @7 05 Y 108,88 109,241 110,27l 111,99l 114,32l 117,22 120,62j 121,36 12865 132,89 137'28 141,60 1 145, 70° x 0 o@ 9,80l 19,36l 28 4sl 36,94 4@ 30 50 60 55,62 59,o4 60,80 60 76 58,78 54, y 8240 83,o2! 84,95l 880s@ 92,41j 9782 10@20 lll,ss 119,47 12794 13668 145,43 153, 66' 33@ x °,°° 11,3ll 22,37 3@',901 12,62 51,3s 58,78 6@,68 68,63 71,os 71,11 6!@,07 64,71 Y 73,10 73,8l! 75,991 79,s6, 84,s2l 90,69 98,o31 107,4l 115,64 125,48 135,66 145,98 | 155,96 ! 60- x I O,ooj 14,os| 27,8l1 40,97 53,22! 64,22 73,73l 8],42 1 87.ol 90,21 90,86 88.57 _ y 55,28| 56,15 58,s6 . 63,osl 69,os! 76,s7 85,61 @6,39 | 107,3s 119,71 132,79 145,78 50° x I 000 1789 3539 5222@ 6802l 8242 9503 105,s2 1134s 118,4s 120l3 118,17 y 27,7s 28'17 3197 37'22 4@49 53'76 64,91 77,82 9231 108,16 124,98 142,44 1 - }0@ x I 0,oo 21,20 42,11 62,21' 81,22 98,72 11432 127,56 1 137,97 145,os 148,32 147,l6 1 - y I 0,oo 1,2sl 4,77' 10,73 18,97 29,ss @2 4@ 57,42 74,42 93,24 1 13,60 135,os 30' x: Ooo 21,osl 47,17 70,79 92,64 11296 131,32 ]@7,23 @ 160,19 j - _ Y -27,7s - 26,46 -22,ss - 16,22 -7,19 @ 4@ 18,32 3@,3s; 53,78 - _ 23 27@ x 0 oo 25,69 51,o2 75,fi2 99,1o 121 08 I @ 41 ]58,Gs I 173,o7 - | - y 4i)82l @4,SII -4@,49 -33,93 -@,77 -1280 -1,89l 18,87 @ 37,fi8 - _ _ @ _ ao x o,OO 5,12 IO,os l4,7s 19,os 22s4 2597@ 28,35 2992 @ 30,60 30,35 29@15 | 7@°5 y 108,88 109,24 ll0,27@ III,ss@ ll4,37@ 11722 l2062 121,36 128,6s 132,ss 137,28 14l,60 l45, 70- x °,°°l 9,80@ 19,36 28,4s@ 36,94l 4@,30 50,60 55,62 5904 60,80 60,76 58,78 1 53, y 82,40l 83,o2l 84,95@ 88,osi 92,41 97,82 10420 III,ss 11947 l27s4 l36,6s 145,43 1 15 ,92 66'33@x ! o,ool @l,3l1 22,37' 3@,90@ 12,62' 51,35 58;8 61,68 6863@ 71,os 71,11 6!@,07 64,11 y 1 73,10 73,8ll 75,99@ 79,s6, 84,s2l 90,69 98o3 107,41 1]5'64 1 125,48 135,66 l45,9s l55,s6 60- x ! 0OO l4051 2781l 40,97 53,22! 64,22 7373 8l,42 87,01 1 90,21 90,86 88,57 y 1 55'28 5615 58,s6 , 63,os 69,os@ 76,s7 8561 @6,39 107,3s 1 ll9,7l 132,79 l45,78 50° x 0,oo 17,89 35,39 52,22l 68,02j 82,42 9503 l05,s2 113,4s 1 118,4s 120,13 1l8,l7 Y 27,7s 28,17 3l,s7 37,221 44,49@ 53.76 64,91 71,82 92,31 l 108,16 124,98 142,44 _ 40@ x 0,oo 21,2 1 42,11 62,21l 81,221 98 72 114 32 l27,5c 1 137 97 145,os 148,32 l47,16 y I o,o I,2 4,77 10,73 l8,s71 29's 1 42'4 1 57,42 74'42 93,24 113,60 135,°9 30° x 0 o@ 24 09 47 1 1 70,79 92,64@ 1 12 9 1 131 3 1 147,23 160 19 _ _ y -27,7 I-2646 -22ss -16,22 -7,19 4,4 1 18' 1 34,35 5378 _ _ _ I _ 23c 27@ x °, 1 25,69 51,o2 75,62l 99,1o 121,o 1 141 1 1 l58,65 173,o7 1 - _ Y I -4@,82 44,51 -40,49 -33,93l -24,77@ -12, I 1' 1 18,87 37,68 1 - _ _ 20C x 0,oo 2643 s2,s41 77,9l1 102,l7@ 123s 1 l456s _ j _ _ _ _ Y - 55,28 _ @3,91 _ @9,95@ - 43,29j - 33,ssl - 2] '9 @ - 7,1l _ @ _ 10 x Ooo 2824 5619; 83,431 l09,64' 1344 ! 1i73@ @ . Y 82'40l -80,99 -77-9s! -7°,34@ -60,94, - 48,7 -33'ss @ _ I _ 0@ x O.o@ 29,so s8,701 87,28 ll4,s7 1@ 7 _ _ _ @ _ @ - 108,ss - 107,ss - l03,6sl - 97,16' -87,98' - 76,16 - - _ _ I _ I - - lo@ x o,ool 30,12 60,oo 89,27 Il@,74@ ls2 - _ _ _ Y -l31,51 -133,32-l2@,6..-l23,s3-l 14,93 -103;i2 _ _ _ -20 x 1]7,s3 ]45,33 171 ,G5 _ 111,3s 131,32 ]1@,97l - i Tabell 9. Rätvinkliga koordinater (mm.) tiq 9'' @= °°l lo- 20C 30° 1 40U I 50@ 0" 70 90° r O on @ Y 90,o5 80 X 0,oO 2,52 5,o'' 7,-L9 | 9.o2 | ]2 2 3 1 1,58 16 7 Y 81,8G 81,88 81,9O 82,o7 82,7.3 | 82 L:3 82,(;8 82 9, 70@ X 0500 4@5@ 1 9,2b 13,83 1.8;39 22j/,) @ 27,1).@ @l,2, Y 73,U4 1 73,U8 1 73,17 73,37 73,16 1 73,'34 @ 74,'3'' 71,79 66 33 X (3,00 5,29 | 10,53 ]5,77 20,90 25,97 1 30,8'J 35„ @i Y 69,87 69,94 1 70,o'' ' 70,2'@ 70,47 70,83 71,''1 71„.-, 60 X 0,oO 6,41 12,80 19,14 25,41 31,o7 37„io 43 r@o Y 63„o 63,72 63,8a 1 61,u3 64,33 64,G9 @ 65,11 I ij5 1;8 50" 5@ 0,oO @ 7,88 ]5„-3 23,.@:3 1 31,''@i 38,89 @ 46,:@9 5,@-@ Y 53,84 1 53,8@; 53,o9, 5@ 51,16 ' 51,83 ' 55,'"3 @ 551@1 40 X O,OQ 9,0G I 18,o9, 27,oG I 35,98 11„ 9 53,'L7 62,0' Y 43,57 43,60 | 43,71 1 43,1@ 44,1L 44,L7 44,@17 45,-@7 30 X 0,oO 9,96 19,89 1 29,79 1 39,61 1 49,32, 58.@G fi8,1 ' Y 32,97 33,oo 33,U7 @ 33,23 33,L.'3 @ 33,(i9 1 34,oL I 3@ 23@ 271 X 0,oO 1O 41 20,80 31,18 41 41 @ 51 .@'3 6]„ L 71 li1 y 25,89 25 91 2s-3@98 26,o9 26 26 26 @8 26„ 7 27 ()@ 20' X 0,oO 1 10,61 20,88 31„1 42,1, 52.o.@ 6'-1,8@i @2'1(; Y 22,12 | 22,18 22,20 22,:10 22,4-L 22,6'3 22,8d 23 1.-@ ' X | 0,oO 1 ]0,98 2],94 1 32,86 1 43,71 1 54,@7 @ 65,16 75„o 1],14 1 11,20 11,27 ! 11,53C @ 11,50 @ l1,GL 0@ x I 0,oo 1l,ll 22,20 33,''4 4@,''.3 @ 55,1" 65,'i' 7G,@-@8 y (),00 0,oO | 0,OU 0,oO 0,OG (),no (),oll (I,no inater (mm.) till Hammers ytriktiga planisfär i @kal| 50- @oi 70o 80i 9oi 100- l 10° 120° l30 l l l4 ! @ _ 2,@ ,58 16,78 18,89 20l86 @ 22,@ @ 2@ 25,@8 27,37 l 28 82,13 82@Gs 82,97 83l.3l 83l6@3 @ 84,11 8@ l 85,o6 85,G8 86 22,@o 27,o,i, 3ll23 35l24 39,os 42,72 46,13 49,29 52,l@ 54 73,@31 7@ 74,79 75,32 75,93 76,61 77,36 @8,@9 7Y,O@J 80 25 97 30,89 35 7(@ 40,34 44,76 49,@o 52,a7 56,6G 60,l2 ' 63 70,s3 71,2l 7l,7,, 72,32 72,@J7 73,7? 74,53 75,1@ 76,1G 1 77 3l.i,7 37,@;o 43,50 49,2; 54,74 60,oo 1 65,o@ fi9,7 1 74,18 78 61,@,9 65,l 1 65,(;8 @6,31 67,os 67,81 l 68,75 69)76 70,8@ 72 38,@o @6,3@ 53,7@1 60.ol 67,87 l 71,@o l 81,oO 8725 @ 93,@):1 98 5 l,8J 55,28 1 55,S I 56,-17 | 57,20 | 58,o3 58,@G I 60 @ 7 @ 62 1-l,.!) 53,17 1 62,o? | 70,39 78,56 1 86,,1 94,10 @IOI,GO |IO@,G7 ll5 41,l, 41,i@7 4s,37 1 45„@5 1 46,62 47,38 1 48,24 | i9,-@2 | 50.:@ 51 49,32 58 sG | 68,12 @ 77,72 86,81 95,74 101,43 112 8@2 |120,91 |l28 33,(;9 34,01 l 34,@ 31,9l l 3@,45 36,os 36,80 l 37,G1 38,70 l 39 5@ 9 6@ 71,G1 8l,40 1 90,o7 loo,62 1109,64 1118,1 1 127.13 l35 26,18 26,77 l 27,os '@7,40 27,01 28)42 29,01 29,l;7 30,.1@ 3l 52,..5 62@sG @2,qG 83,oo 92,81 102,37 l111,74 12089 l29,7G l38 22,@.@ 22,88 23,10 @ 23,.@u @3,89 21,i@3 l 24,83 25)4l 26,us @ 51,.17 65,1G | 75„o 86,os 96,20 lo6133 ll6,12 l25,73 ]35,oG l44 ,3c 11,50 11,6@ 11,80 12,@)1 12,2l 12,o@) 12,7a l3Jl4 l 55,12 65,o2 76,-,8 1 87,1l 97,4c 107,G8 lll7@6o 1127,@1 1@6,8@ t (),no ()@ol) o@oo @ o@oo o@oo oJoo | oJoo olö@) ()@()() @ ytriktiga planisfär i @kalan 1:100 mill. loo 110° l l20o 130° 140@ ll 150@ 160° l 170' lp() j i I l I G 22l, 2 24,11 1 25l98 27l37 | 28,57 ; 29,o5 30,86 | 30,92 @ 7 9 84,11 @ 8t,G1 85,()6 85,63 | 86,20 | 86,74 @ 87,11 | 88,o2 8X,G8 8 1 42,72 @ 46,13 i 49,29 52,18 54,77 @ 57,02 58,9-1 60,47 6] ,.')9 76,G1 77,3G /8,l9 7Y@o9 80,U6 81,1o 82,21 83,39 84,G 2 49,oo 52,9, 1 56,GG 60,12 63,21 65 91 68,26 70,19 7 73„ 2 74,5?, 1 75,44 76,46 77,51 78;66 79,89 8l,22 82@ 60,no i 65,o@ | 69,71 74,18 78,os i 81,8@ 85,o6 87,81 | 9o,05 67,81 68,75 1 69,75 j 70,88 72,25 | 73,38 @ 74,80 76,3-1 | 77,o9 7 7 I,GO 81,oi, 1 87 25 93,o8 1 98J49 |103,5R jlo8 t2 112,21 I l5,7G 58,o.; 58,9G i 60 v1 1 61,17 | 62,l6 1 63,87 | 65 29 67,12 @i@3,ss 86,51 94,19 lol,60 lo8,67 l115,40 l2l,78 1127 63 l33 05 137,o6 @7,3,l@ 18,@4 l @9,@2 50,32 l 51.58 52,88 l 5438 56;vl 57, i 95,74 10@,-1'3 il 12 82 l20,94 l28,72 136,16 1143 20 149,8l 155,97 5 36,o@ 6l80 37,61 38,70 39,55 40,70 4l 98 43,@l 45l@):3 00,62 109,61 118,4. 127.13 l35,46 l1434G 151 ll 158,@3fi @l6@ 28,@2 @ 2@v@,01 29,67 30,4-@ 31,27 32;22 3328 34,49 35l84 02,13, @111,74 1120,89 129,76 138,33 14659 154,5-3 162.o7 1(@9,@ 9 1 2i@.3v @ 21,83 ! 25@4l 26,os 26„9 l 27;65 @ 28,o6 29,61 30,Ro 9 1106,33 1 16,12 125 73 l35 06 144,l4 | 152,9R 161 4 l 169 5G 177 R4 1 12,@1 12,o() 1279 ]3,14 l3,53 l 13,97 1445 15,@2 15;64 G 107,G 3 |117,GO 127,3 1 l.@6,83 1-16,os jl@5,oi 163,71 172,o7 l80,0l1 ° O,O@l 1 0,oo (),oo 0,oo o@oo 0,no o@oo o'oo oloo Tabell 10. Lafituda@stånd från ekvatorn i sexagesimala ekvatorsminuter för Mercators projektion. Avplattningen = 1 : 294. y @vstånd @ @1 Avstånd @ @ I Avstånd I q Avst@lld °' I O,oo 1 21o @ 1280,84 41O I 2686,28 61o 4628, I-' 59,60 1 220 @ 1344,gs 1 420 1 2766,os 1 620 1 4754 2 119,21 . 230 1 1409,61 ! 43O 2847,17 @ 630 , 4884,12 3' 178,86 240 1474,57 44O 2929,60 1 640 1 5018,42 - @° 238,s7 @ 250 1540,13 @ 45O 3013,43 1 650 1 5157,63 5' 298,3s 1@ 260 @ ] 606,24 q6O 3098,7s 1 660 1 5302,16 6 ' @ 358,22 270 1672,92 47O 3185,63 670 1 5 152,49 @, 418 21 280 17@10,2@ 48O 3274,17 680 5609,]s 8 478 32 @ 290 @ 1808 12 1 49 3364 46 69 577@,71 9@ @ 538,ss, 30O I 1876'71 1 50O 3456'ss i 70O ! 5943, 10 599,o2 | 31° 1945,99 51 3550,6s , 71°, 6123,60 11' 659,64 1 32@ 2016,o2 , 520 3646,79 72O @ 6312,@1 12', 720,47 33c 2086,81 @1 53O 3745111 @ 73O j 6512,07 I ;3 j 78 1 ,s3 | 34 21 58,43 54 3845,74 74 6723,28 1@ 1 8@2,84 , 35O 223(),89 55O 3948,83 75O @9 17,76 15' 1 901,42 360 2304,27 56O 4054,s4 76@ 7187,39 16- 966,30 37O I 2378,ss 57O 1163,o3 77O 7411,43 17- ]023,48 38O 2i53,ss 58O 4271,49 780 7721„o 18@ @ ]09],ol 3()o 2530,1@ 59O @389,11 79O 802@,76 19 @ 3,8(@ @oo @ 7,@,@ 6@)@ 4507,13 @Y(@ 835 2()@ 1217,16 - - _ _ Tabell 11. Breddgradernas avstånd (mm.) från ek@atorn i Moll?@eides projektion. Skala 1:100 mill. q @ Avstånd @ @p Avstånd 1 0 o,oo I S0 58,66 5u 6,17 1 55° 63,78 10@ 12,32 60° 68,68 ] 5° 1 8,44 j 65c 73,3@ 20 24,so 66 32 ,s 74,69 23' 27@,s 28,68 70° 77,6s @5' 30,50 1l 75° 8].62 30 36,40 ! @ 80 85,17 35c @2,18 85° 88,14 40@ 47,84 90° g0,os @5- 53,33 _ 8c Tabell 12. Breddgradernas avstånd (mm-) från ekvatorn i Eckerts polarongkoid @:o 2. Skala 1:100 mill. I @; I Avst@nd @p @ Avstånd ' l (J (),o I 50 ; 6 I,o 5 1 6 1 55 1 69,9 i 12 4 60 1 75,1 15 @ 18,Y @5 80@o 20 @ 25,3 70 : 84,2 25 32,o 75 @ 87,6 30 1 38,s 80 I go,l 35 4s,2 1 85 9 1 ,7 o @ 5 ] ,6 1 9(@ 92,2 58,@
Tabell 13. Breddgradernas avstånd (mmJ från ekvatorn i Eckerts polarongkoid n:o 4. Skala 1:100 mill. ·p Avstånd ·1 | Avstånd 0 o,o 50 1 60,6 5 8,o 55 1 65,4 @0 13 o 60 @ 69 9 15 @ 19 6 65 1 73'9 20 26,o 70 , 25 32 8 75 80,3 30 j 3814 8() 82,7 35 45,o 85 1 8 1,o 40 50,3 go 84,s 45 55,5 @ -
Tabell 14. Rätvinkliga koordinater för breddgradernas skärningspunkter med begränsningsmeridianen i Eckerts polarongkoid no 6. X-axeln = ekvatorn, y-axeln = mittmeridianen. Skala 1:100 mill. - 'P @ @ Y @ Y · I 0@ 1 176,sl 0,o(@ 1 ·)0° 1 129,s3 60,92 5O 1 75,96 6,32 S5 @ 1 2 1 ,88 6G, 29 @0O 17@,28 12,6s 60@ ] 14,4@ 71, l5c 171,ss 18,92 65 l07,4l 75,96 20O @ 167,30 25,17 70 100,99 80,12 25O @63,11 @ 31,37 75 9s,64 83,@s 30° 157,60 1 37,so 80- 91,64 86,10 35J 151,31 @3,S4 85@ 89,18 87,67 @oo 1@ l 47 ; @9,46 soo 88,2s 88,2s @5@ 137,,8 55,26 _
Tabell 15. Polarkoordinater för en karta över Eu lägen @0° ö. 1. från Greenwich och tangeringsbreddgrad ./, i@=o° ' 5O 10° @ 15° 20@ 1 25-@ 75' 0° o' @ 3O 22@ 6' 39' 1 9° 45' 1 123 38' 15@ 13' @ 22 30@ 1 22O 35@ 22° Sl' 1 23@ 17' 1 23° 53@ 2ii 37@ 70 @ oo o@ 5O 39' 11° I' 15' S6' 20O 15' 23@ 51' @ 26 7 30' @ 17@ 39' 18' 6' 18- 4@' @ 19@ 45' 2(@ 5i' 22, ' 67 @3' 0' 0' @ 7@ 16' 1@ 4@ 20@ 5@ 1 25 11@ 29 16@ 32 @ 15'' 3' , 15' 15' 15' 49@ 1 16U 44r 1l 17° 53@ 19 17' 2 65 0@ 0' 1 9° 36' 183 20' 1 25' 38' 1 3In 25' ;@5 47@ 38 1 12° 30' 1 12° 45@ 13° 30@ 1 I L° 39' @ 16° 6' 17 47@ 19 6() 1 oo o@ 1 18° 16' 32° 26@ 1 41@ 56' 47O 54@ 51@ 33': 53 7@30@ @ 8@0' gO 19, @ 1l3 lo@ 13@20' 15 39' 1 18 55 1 oo 0, 47; 47@ 63O 2@ 1 68O 15', 70O 4@ 70-' 24@ @9 2° 30@ 43c 52' 6° 25' 9° 12' , 12° 3@ 14'' 55' 17 50' 180° o' 126° 45' 107° 48' 98° 58' 93° 28' 8@)@ 2' 85 2@ 30@ 4O 1@ 6O 41' 9@ 42' 12@ 43@ 15° 46' 1@ 15' 18()° o' 154° 22' 134° 49@ 121@ 20' 111° 48@ 104O @7' 98 7@ 30' 8° 1 1' 93 58' 12° 22' 15° 6' 17' 59@ 20 180° 0' 162c 41r 147° 18' @134° 38' 124° 28' 116@ 13@ 109 , 12° 30' 12° 58' 14° 15@ @ 16@ 11' 18° 32@ 21 @ 9@ 23 35' 1180° o@ 166° 32@ 153° 56' 1 12° 43' 1133° 2' 12i@ 43@ 117 1 17°30' 17°51' 18C53@ @ 20°29' @ 22°32' 2i@5i@ @ 27 30° 180° o@ 1683 46' 158° 0' @1483 2' 1139q 3' 131° I' 123 1 22@ 30' 1 22° 48' 23° 40' 1 25° 3' 1 26° 52' 29@ 1' 31 25 @ __ - - 151° 47' l1433 28' 135 51@ 128 - _ - 29- 45@ 31' 23' 33 @1' 3.5 uer Europa. Mittmeridianen (i tabellen-0°) tänkes be- @graden är 52° 30' n. br. __@ _ ____ _ o 30@ 35° 4o3 45o 5o3 55@ 60° 3, @ _ _ _ I - @' 26 5 L' | 29@ 17' @ 31° 7' 32O 28' . _ | - Jl@ 22@' 12@ 1 23O 39@ 1 25° 11' 26° 47' _ _ 16' @ 32O 26@ ! 34@ 50@ 1 36n 36' 37° 48' 38° 2g@ 17' 2() 51' 2@° 33@ 21° 19' 26° 9' 28° 3' _ @ _ 4 7 3 8 @ 7 4 1 @ 4 2 G 3 9 ' 4 3 3 1 4 3 5 5 4 3 5 6 47@ 19@ 38@ 213 36' 23O 38' 253 43' 27O 49@ 29O 56@ - 33' 1 53° 42' 54° 48' 55° 12' 55" 5' 543 36' 53° 50' 53'' 48' 39' 1 18" @ 20- 33' 1 23@ 2' 25° 3;2@ 28' 2' 303 29' 32u 56' 24@ 69- s8@ 69O 3@ 67O 51@ 66@ 26' 643 52' 63° 1 1@ 55' 17@ @6' @0° 38@ 23O 27' 26° 16' 29O 2' 31@ 46@ - 2' 85'i 37' 823 28' 79@ 37' 76° 55' - 46@ 1@ 48@ 21° 50@ 24° 50@ 273 49@ 37' 98@ 54@ 94° 6' 89° 42' _ __ 59' 2() 58' 1 24@ o' 273 2' 13' 10(@; 25@ 103' 38' 983 35' 9@ 23O 58' 26O 53' 29O 52@ _ _ 43' 1173 33, lllc 18' 1 - - - - 5 i' @ 27' 31@ 30° 17 1@ 123° 52' 117@ 29 1@ 31U 26' ' 34° 3' @ 51 @ 128 ' 53' - I ~ -'' 2 1 ' 35 .@6' - @
Sakregister
Aitow 50, 51, 71 Aitow Hamlllers ytriktiga planisfär 50, Albers 37, 71 Albers ytriktiga kägelprojektion 37, 40, Ap@ Pet@rls 69 avplaltllillF 7 88 az8nlltala kor;rdinater 60 56utaln Projektjoner 12, 13, 15, 30, azimnt(-vinkel) 13, 60 schnllalln@ W. 72 Behrmanns ytriktiga cylinderprojektion Beneventanus, Marclls 69 Bludau, A. 72 Bonne, Rigohert 68, 70 Bon les projektion 9, 12, 32, 3Y, 48, 56, breddgradeavstand 88, 89 bredd@radsbågar 7Y breddgrzd@ ki@ 7 breddgradsfel 81, 82, 83 Breussing 57, 71 h;it av@thlld 60, 81, 82, 83 Cassini de Thllry, C. F. 70 C„ssmi Soldners projektion 43, 56 Cdsslrlis projektion 43 centesimalgradering 7 centralprojrktion 19 cirkclprojektloner 52 Cotta, .loh. 69 Craig 67 cylinder.lxel 14 Cylindermantel 12 cylinderprojektioner 12, 28, 42 56 @y@jnderyfo@ @2 Da (;ama Vaseo 68 Delisle J. N. 70 Delisles projektion 27, 35 56 Dikaarkos 68 direLta projekt@oner 11 15 direkt cylinderprojektton 27 28 43, 56 dir ht konisk projehtirn 23 24 28 33 Eekert MaY 53 71 72 Eckcrts polarollgkoider 52 56 67 89 90 ekvatorialprojektion 13 ekvatorskala 9 ekvidistans 8 el;vivalens 8 ellipsoid 8 ezterna projekttoner 22 56 felcirklar 58 Flamsleed 70 Flamsteeds projektion 4] Frisius Gemrna 69 forvridning 7 Gauss C F. 71 general tabskartor 26 27 30 34 39 41 geografiska koordinater 7 gen netriskt deiinierbara projektioner 11 Germam@s Nicolaus 69 Glarcanlls Hcnricus 69 globularprojektion 33 56 gnomo isk projektton 19 23 28 56 Goodes ·tlomolosina@ projektion50 56 gradavdelnh@gsblad 34 gradnat 7 balvlclotskartor 15, 33 67 Hammer, E. 51, Il, i2 Hammers ytriktiga planisfar 48,52, Hase 70 Herisson 71 tlipparkos 68 borisontalproJcktion 13 ilavuapunkt 13, 41 indikatrix 65 inrtirekta projcktioner li, 15, 30 jordradicn 8 kartprojcktion 7 I lothalolt 37 kolllpassriktrling 10 konaxel 14 koniormitct 8 koniska projektioner 23, 33, 56 konmanlel 11, 12 kontraazilllutala diagram 57 I;mlvcntionella projektioner 11, 64 krllytor 12 kv idratisk plattkarta 8, 42, 44, 56, 8.. kdgellrlalltcl 11, 12 kagelprojcktioncr 23, 33, 56 kägelytor 12 Kastncr 70 I ambcrt, J. G. 52, 70, 71 I,amberts vinkelriktiga cirkeiprojcktion 52, 56 I,amberts ytriktiga azimutalprojehtion 31, 36, 10, 56, 64, 67, 81, 84, 85, 86 Lamberts ytrikbga cyl@nderprojekt@on 28, 44, 56, 67, 83 I,ambcrts ytriktiga kagelprojektion 37 56, 82 latitudavstånd 88 loxodrom 10, 45, 65 loxodronliska sjökort 69 langdlel 8, 13, 14 I i tgd@elsextrernCr 10 g,tgradsfel 81, 82, 83 lgdriktiga projektioner 11, 56 liinRdrikhgllet 8, 9 längdriktig hrmisk projektion 33, 35, 82 IAngdskala 9 rinus 68 mlrcr 57 dyer@ Tobias 70 mcdelpunktsvillkcl 60 edelslcala 10 ercator, ('erhard 69, 70 .@.crcators projektion 8, 9, ]0, 44. 5'@ 53, 56, 65, 67, 83, 88 meridian 7 meridianbage 80 mittavståndsriktig azimutal prolektion 8, 30, 56, 6@, 67, 81 mittmeridianska]a 9 mittpanktsekvidistans 41 mittpullktsskala 10 Mollweldc 71 Mollweidc-Bahinets projektion 71 Mollweides projektiml 12, 48, 50, 52, 56, 88 Nell 71 Nells modttierade globularproiekbon 33 Nicolosi, G B 70 Nnrdenskiold, A E 69 normala projektioner 13 ortodronl 10, 19, 23, 45, 60, 65 ortograti.k projehtion 15, 22, 56, 6 65, 81 ortsbestämrling 7 parallellcirhel 7, 8 polarkoordillater 60, 91 polarongkoider 52, 56 polarprojektion ]3 pollinje 53 polycylindriska projektioner 30, 65 polyeder 27 po yederprojektioner 14, 26, 27, 35, 56, po]ykoniska projektioner 24, 39, 56, 65 portulaner 68 Postels projektion 31 projektionsie] 8, 15, 65, 81, 82, 83 projektions]injer 11 projekttonsplan 12, 60 projektionsstralar 11 @iektionsy(a 1 1 @pseudocylinderprojektioner@ 15 alemäus 68, 69, 70 rektankulär t lattk.lrt.l 43, 56, 83 rctroazimutala diagrann 57 riktnhlgsvinkel 13 @sen, K. D. P. 5() llyscll, Jotl. 69 r.itvinkliga koordin.lter 58, 64, 84, 85, 86, 87, 90 nson, Nicolås 7() Sanson-Flamsteeds projektion 12, 41, 47, 50, .)1, 52, 56 64, 67 Schjernings projektioner 57, 71 @färoid 8, 79, 80 skala 9 @karande projclctioner 13, 35, 37, 38 unedaxliga projektioner 14, 29, 30 Soldncr 7() S@ab 64 S[ab Werncrs projektioll 41 stereografisk projcktion 9, 17, 26, 33, 56, 58, 64, hS, 81 stjärnlomlade projektioner 55 slnrcirkel 7, 10, 12, 19 stympad kon 34, 35, 38 Svenska Turistforeningens karta 47 Sylvarllls, Bernhardlls 69, 70 tankerhlgscirkcl 12, 13, 58 tallt erhlgspllnkt 13, 60 Te@.tor 71 Thalcs 68 Tissot, A. 72 toppvinkel 12, 24, 36 Toscanellis karta 69 transvcrsala projehtioner ]4 trapezplujektion 55 ppslitsade projeklioner 14, 48, 49, 50, van der Grintcn 71 van der Grintens ctrkelprojektioncr 52, Wemer 69 Vespucci, Giovanni 69 vinkelfel 8, 14, 65, 81, 82, 83 vinkelriktiga projckttoner 11 56 vinhelriktig cylinderprojeklio;l 9,44, 56, vinke8iktigllet 8 vinkelriktig konisk projektion 38, 56, 82 Wngllt, Edward 70 v4dcr 11 vadprojektioncr 14, 30, 47 ytiel 13, 14, 81, 82, 83 @triktiga projektioner 11, 56 ytriktiyllet 8 ytrlktig kagelprojektion 11, 36, 56 ytriktig k;iyelprojektion med minsta vin- keliel 37, 66 ytriktig skarande cylinderprojektion 44 ytskald 9 Zctterstrands karta 47 zoner 14, 24, 26 Zuppritz, K 72 ögonpunkt 11, 14, 22